ENERGÍA RELATIVISTA

Partiendo de las transformaciones de Loretnz y haciendo uso del teorema del trabajo y la energia tenemos:

$$m=\frac { { m }_{ o } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ {c}^{2} } } }={ m}_{ o }\gamma$$

El momento relativista esta dado por:
$$P=\frac{{m}_{o}v}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}}=\gamma{m}_{o}v$$

Segunda Ley de Newton
$$\overline{F}=\frac{d\overline{P}}{dt}$$
Tomando la segunda ley de Newton para el momento relativista tenemos:
$$\overline { F } =\frac { d\overline { P }  }{ dt } =\frac { d\left( mv \right)  }{ dt }$$
donde m es la masa relativista...
$$\overline { F } =\overline { v }\frac { dm }{ dt } +m\frac { d\overline { v }  }{ dt }$$


Teorema del Trabajo y la Energia
$$W=\int {\overline{F}\bullet d\overline{r}}$$
El teorema del trabajo y la energía para una masa relativista y en una sola dirección esta dada por:
$$W=\int { Fdz } =\int { \frac { dp }{ dt } dz } =\int { \frac { dz }{ dt } dp } =\int { vdp }$$
Usando integración por partes tenemos:
$$W=\int { vdp } =vp-\int { pdv } $$
$$W=\gamma { m }_{ o }{ v }^{ 2 }-\int { \gamma { m }_{ o }vdv }$$
$$W=\gamma { m }_{ o }{ v }^{ 2 }-\int { \frac { { m }_{ o }v }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } dv } $$
Ingresando v dentro del diferencial y multiplicando  y dividiendo por C^2 tenemos:
$$W=\gamma { m }_{ o }{ v }^{ 2 }-\int { \frac { { c }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } \ast \frac { { m }_{ o }d\left( \frac { 1 }{ 2 } { v }^{ 2 } \right)  }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  }  }$$
Reorganizando las constantes en la integral y el diferencial tenemos:
$$W=\gamma { m }_{ o }{ v }^{ 2 }-\frac { { { m }_{ o }c }^{ 2 } }{ 2 } \ast \int { \frac { d\left( \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  \right)  }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  }  } $$
La integral presente en la expresión anterior es equivalente a resolver las siguiente integral por sustitución simple:
$$\int { \frac { d\eta  }{ \sqrt { 1-\eta  }  }  } =-2\sqrt { 1-\eta  } +k$$
Llevando la equivalencia a nuestra integral:
$$W=\gamma { m }_{ o }{ v }^{ 2 }-\frac { { { m }_{ o }c }^{ 2 } }{ 2 } \ast \left( -2\sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  \right) $$
Reorganizando y reemplazando gamma:
$$W=\frac { { m }_{ o }{ v }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } +{ { m }_{ o }c }^{ 2 }\sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  } $$
La integral es una integral definida de una velocidad inicial cero a una velocidad fina v, a partir de esto tenemos:
$$W=\int _{ 0 }^{ V }{ vdp } ={ \left( \frac { { m }_{ o }{ v }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } +{ { m }_{ o }c }^{ 2 }\sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  \right)  }_{ 0\rightarrow V }$$
Evaluando:
$$W=\frac { { m }_{ o }{ V }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-\frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } +{ { m }_{ o }c }^{ 2 }\sqrt { 1-\frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  } -{ { m }_{ o }c }^{ 2 }$$
Factorizando tenemos:
$$W={ { m }_{ o }c }^{ 2 }\left( \frac { \frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }{ \sqrt { 1-\frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } +\sqrt { 1-\frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  } -1 \right) $$
Sumando:
$$W={ { m }_{ o }c }^{ 2 }\left( \frac { \frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } } +1-\frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }{ \sqrt { 1-\frac { { V }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } -1 \right) $$
$$W={ { m }_{ o }c }^{ 2 }\left( \frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } -1 \right)$$
$$W=\frac { { { m }_{ o }c }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } -{ { m }_{ o }c }^{ 2 }$$
Acorde a la expresión ... tenemos:
$$W={ mc }^{ 2 }-{ { m }_{ o }c }^{ 2 }=\Delta T$$
$$\Delta T={ T }_{ f }-{ T }_{ i }$$
la energía cinética inicial es cero, dado a que la velocidad inicial es cero, por tanto la energía cinética corresponde a:
$$T={ mc }^{ 2 }-{ { m }_{ o }c }^{ 2 }$$
Esta expresión corresponde a la energía cinética de una partícula a altas velocidades.
Para obtener una expresión de energía total se debe considerar su energía cinética y la energía asociada a la masa de la siguiente manera:
$$E=T+{ { m }_{ o }c }^{ 2 }$$
Reemplazando tenemos:
$$E={ mc }^{ 2 }-{ { m }_{ o }c }^{ 2 }+{ { m }_{ o }c }^{ 2 }$$
Por tanto la energía total para una partícula que va a altas velocidades esta dada por:
$$E={ mc }^{ 2 }$$
Energía de la Masa en reposo
Si la masa se encuentra en reposo su velocidad es nula, por tanto:
$${ E }_{ o }=\frac { { m }_{ o }{ c }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-\frac { { 0 }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } $$
Quedsndo asi la exoresion:
$${ E }_{ o }={ m }_{ o }{ c }^{ 2 }$$
Energía Relativista en términos del Momento Lineal
Para obtener una expresion de energia en terminos del momento lineal, iniciamos con:
$$p=\frac{{m}_{o}v}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}}$$
Multiplicando por C y elevando al cuadrado toda la expresion tenemos:
$${ \left( pc \right)  }^{ 2 }=\frac { { \left( { m }_{ o }v \right)  }^{ 2 } }{ 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  } { c }^{ 2 }$$
Sumando a ambos lados de la igualdad el mismo termino tenemos:
$${ \left( pc \right)  }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }=\frac { { \left( { m }_{ o }v \right)  }^{ 2 } }{ 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  } { c }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }$$
$${ \left( pc \right)  }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { \frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }{ 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  } +1 \right) { \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }$$
$${ \left( pc \right)  }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 1 }{ 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  \right) { \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }$$
$${ \left( pc \right)  }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }={ { \left( \frac { { m }_{ o }{ c }^{ 2 } }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  }  \right)  }^{ 2 } }$$
De esta manera llegamos a:
$${ { E }^{ 2 }=\left( pc \right)  }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }$$
Energía y Momento del Fotón
El fotón tiene masa cero, por tanto de la expresión anterior tenemos:
$${ { E }^{ 2 }=\left( pc \right)  }^{ 2 }+{ \left( 0{ c }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }$$
Por tanto la energía del fotón es:
$$E=pc$$
Proponiendo la hipótesis de Plank para la energía cuántica de un fotón podemos obtener una expresion para el momento lineal, tenemos:
$$E=pc=h\upsilon $$
$$p=\frac { E }{ c } =\frac { h\upsilon  }{ c }$$
$$p=\frac { h }{ \lambda  } $$
Limite Clásico de la Energía Relativista
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