De la solución a la ecuación de Schrödinger en coordenadas esfericas tenemos que su parte radial esta dada por:
$$ \frac { 1 }{ R } \cdot \frac { d }{ dr } \left( { r }^{ 2 }\frac { dR }{ dr } \right) +\frac { 2m }{ { \hbar }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right) \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) $$
Hacemos un cambio de variable con el fin de sintetizar mas la expresión:
$$ R\left( r \right) =\frac { U\left( r \right) }{ { r } } ,\quad \frac { dR }{ dr } =\frac { d }{ dr } \left( \frac { 1 }{ r } U \right) =-\frac { 1 }{ { r }^{ 2 } } U+\frac { 1 }{ r } \frac { dU }{ dr } \\ \frac { dR }{ dr } =\frac { r\frac { dU }{ dr } -U }{ { r }^{ 2 } } \\ \frac { r }{ U } \cdot \frac { d }{ dr } \left( { r }^{ 2 }\frac { r\frac { dU }{ dr } -U }{ { r }^{ 2 } } \right) +\frac { 2m }{ { \hbar }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right) \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) \\ \frac { r }{ U } \cdot \frac { d }{ dr } \left( r\frac { dU }{ dr } -U \right) +\frac { 2m }{ { \hbar }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right) \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) \\ \frac { r }{ U } \cdot \left( \frac { dU }{ dr } +r\frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } -\frac { dU }{ dr } \right) +\frac { 2m }{ { \hbar }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right) \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) \\ \left\{ \frac { { r }^{ 2 } }{ U } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\frac { 2m }{ { \hbar }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right) \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) \right\} *-\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m{ r }^{ 2 } } U\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } -\left( E-V\left( r \right) \right) U=-\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m{ r }^{ 2 } } l\left( l+1 \right) U\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\left\{ V\left( r \right) +\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { l\left( l+1 \right) }{ { r }^{ 2 } } \right\} U=EU $$
Esta ultima expresión se compara con la ecuación de Schrödinger, donde sobresale el corchete al que se le llama Potencial Efectivo.
Para el átomo de hidrógeno tenemos que su potencial esta dado por:
$$ V\left( r \right) =-\frac { { e }^{ 2 } }{ 4\pi { \varepsilon }_{ o }r } \quad \\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2mE } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\left\{ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2mE } \cdot \frac { l\left( l+1 \right) }{ { r }^{ 2 } } -\frac { { e }^{ 2 } }{ 4\pi { \varepsilon }_{ o }Er } \right\} U=U\\ llamar\space { k }^{ 2 }=-\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\left\{ -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { k }^{ 2 }{ r }^{ 2 } } -\frac { { e }^{ 2 } }{ 4\pi { \varepsilon }_{ o }\cdot Er } \right\} U=U\\ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\left\{ -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { k }^{ 2 }{ r }^{ 2 } } -\frac { m{ \hbar }^{ 2 }{ e }^{ 2 } }{ 2mEr\cdot 2\pi { \varepsilon }_{ o }{ \hbar }^{ 2 } } \right\} U=U\\ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\left\{ -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { k }^{ 2 }{ r }^{ 2 } } +\frac { m{ e }^{ 2 } }{ { k }^{ 2 }r\cdot 2\pi { \varepsilon }_{ o }{ \hbar }^{ 2 } } \right\} U=U\\ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \cdot \frac { { d }^{ 2 }U }{ d{ r }^{ 2 } } +\left\{ -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { k }^{ 2 }{ r }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ kr } \cdot \frac { m{ e }^{ 2 } }{ 2\pi { \varepsilon }_{ o }k{ \hbar }^{ 2 } } \right\} U=U\\ sea\space \rho =kr\space \& \space { \rho }_{ o }=\frac { m{ e }^{ 2 } }{ 2\pi { \varepsilon }_{ o }{ \hbar }^{ 2 }k } ;\space U\left( r \right) \rightarrow U\left( \rho \right) \\ \frac { d\rho }{ dr } =k,\space \frac { dU\left( r \right) }{ dr } =\frac { dU\left( \rho \right) }{ d\rho } \frac { d\rho }{ dr } =k\frac { dU\left( \rho \right) }{ d\rho } \\ \frac { { d }^{ 2 }U\left( r \right) }{ d{ r }^{ 2 } } =\frac { d }{ dr } \left( k\frac { dU\left( \rho \right) }{ d\rho } \right) =k\frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } \cdot \frac { d\rho }{ dr } ={ k }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } \\ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } \cdot { k }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } +\left\{ -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho }^{ 2 } } +\frac { { \rho }_{ o } }{ \rho } \right\} U\left( { \rho } \right) =U\left( { \rho } \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } +\left\{ \frac { { \rho }_{ o } }{ \rho } -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho }^{ 2 } } -1 \right\} U\left( { \rho } \right) =0 $$
Buscaremos una solución de forma asintótica, para esto se gráfica el potencial efectivo y observaremos su comportamiento:
Cuando r→0, el potencial V→∞; cuando r→∞ el potencial V→0.
Si planteamos la ecuación diferencial en estos limites tenemos dos distintas soluciones:
r→0:
En la ecuación diferencial anterior si la variable r tiende a cero, la variable rho tiende a cero, por tanto el termino dominante en la ecuación diferencial es:
$$ \frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho }^{ 2 } } U\left( { \rho } \right) =0 $$
Esta ecuación puede resolverse por el método de Couchy - Euler, el cual propone soluciones de la forma:
$$ U\left( \rho \right) =A{ \rho }^{ l+1 }+B{ \rho }^{ -1 }\quad B=0\\ U\left( \rho \right) =A{ \rho }^{ l+1 } $$
Se escoge B=0 puesto que al evaluarla en el limite cuando tiende a cero, este termino desaparece.
r→∞:
El termino dominante para la ecuación diferencial en este limite de r es:
$$ \frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } -U\left( { \rho } \right) =0 $$
Esta es una ecuación diferencial que puede resolverse por el operador derivada y sus soluciones son en terminos de funciones exponenciales reales:
$$ U\left( { \rho } \right) =A{ e }^{ \rho }+B{ e }^{ -\rho }\quad \rightarrow \quad A=0 \\ U\left( { \rho } \right) =B{ e }^{ -\rho } $$
se escoge A=0 para que sea una función continua en el limite.
A partir de estas soluciones obtenidas en los casos limite del potencial asociado planteamos una solución general de la forma:
$$ U\left( { \rho } \right) =u\left( \rho \right) { e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l+1 }\\ con\space u\left( \rho \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } $$
Para esto reemplazaremos en la ecuación diferencial a la cual llegamos:
$$ U\left( { \rho } \right) =u\left( \rho \right) { e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l+1 }\\ \frac { dU }{ d\rho } =u'{ e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l+1 }-u{ e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l+1 }+\left( l+1 \right) u{ e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l }\\ \frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } ={ e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l }\left\{ u''{ \rho }+u'\left( 2\left( l+1 \right) -2{ \rho } \right) +u\left( { \rho }-2\left( l+1 \right) +l\left( l+1 \right) { \rho }^{ -1 } \right) \right\} \\ \frac { { d }^{ 2 }U\left( \rho \right) }{ d{ \rho }^{ 2 } } +\left\{ \frac { { \rho }_{ o } }{ \rho } -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho }^{ 2 } } -1 \right\} U\left( { \rho } \right) =0\\ { e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l }\left\{ u''{ \rho }+u'\left( 2\left( l+1 \right) -2{ \rho } \right) +u\left( { \rho }-2\left( l+1 \right) +l\left( l+1 \right) { \rho }^{ -1 } \right) \right\} +{ e }^{ -\rho }{ \rho }^{ l }\left\{ \frac { { \rho }_{ o } }{ \rho } -\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho }^{ 2 } } -1 \right\} u\rho =0\\ \left\{ u''{ \rho }+u'\left( 2\left( l+1 \right) -2{ \rho } \right) +u\left( { \rho }-2\left( l+1 \right) +l\left( l+1 \right) { \rho }^{ -1 } \right) \right\} +\left\{ { \rho }_{ o }-\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho } } -\rho \right\} u=0\\ u''{ \rho }+u'\left( 2\left( l+1 \right) -2{ \rho } \right) +\left\{ { \rho }-2\left( l+1 \right) +l\left( l+1 \right) { \rho }^{ -1 }+{ \rho }_{ o }-\frac { l\left( l+1 \right) }{ { \rho } } -\rho \right\} u=0\\ { \rho u'' }+2\left( l+1-{ \rho } \right) u'+\left( { \rho }_{ o }-2l-2 \right) u=0 $$
$$ u=\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } ,\quad u'=\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } ,\quad u''=\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-2 } } \\ { \rho \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-2 } } }+2\left( l+1-{ \rho } \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } +\left( { \rho }_{ o }-2l-2 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } =0\\ { \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } }+2\left( l+1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } -2{ \rho }\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } +\left( { \rho }_{ o }-2l-2 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } =0\\ { \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } }+2\left( l+1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } -2\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } +\left( { \rho }_{ o }-2l-2 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } =0\\ { \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n\left( n-1 \right) +2\left( l+1 \right) n \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } }+\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( { \rho }_{ o }-2l-2-2n \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } =0\\ { \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n\left( n-1 \right) +2\left( l+1 \right) n \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n-1 } } }+\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( { \rho }_{ o }-2l-2-2n \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } =0 $$
Reescribiendo indices para sumar términos e igualar coeficientes a cero:
$$ { \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n\left( n+1 \right) +2\left( l+1 \right) \left( n+1 \right) \right) \cdot { a }_{ n+1 }{ \rho }^{ n } } }+\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( { \rho }_{ o }-2l-2-2n \right) \cdot { a }_{ n }{ \rho }^{ n } } =0\\ { \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left\{ \left( n\left( n+1 \right) +2\left( l+1 \right) \left( n+1 \right) \right) \cdot { a }_{ n+1 }+\left( { \rho }_{ o }-2l-2-2n \right) \cdot { a }_{ n } \right\} { \rho }^{ n } } }=0\\ \left( n\left( n+1 \right) +2\left( l+1 \right) \left( n+1 \right) \right) \cdot { a }_{ n+1 }=\left( 2l+2+2n-{ \rho }_{ o } \right) \cdot { a }_{ n }\\ { a }_{ n+1 }=\frac { 2\left( l+1+n \right) -{ \rho }_{ o } }{ \left( n+1 \right) \left( n+2l+1 \right) } \cdot { a }_{ n } $$
j maximooo:
$$ 2\left( l+1+n \right) -{ \rho }_{ o }=0\\ sea\quad \eta =l+1+n\\ { \rho }_{ o }=2\eta \\ { \rho }_{ o }=\frac { m{ e }^{ 2 } }{ 2\pi { \varepsilon }_{ o }{ \hbar }^{ 2 }k } ,\quad { k }^{ 2 }=-\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \\ { { \rho }_{ o } }^{ 2 }=\frac { { m }^{ 2 }{ e }^{ 4 } }{ 4{ \pi }^{ 2 }{ { \varepsilon }_{ o } }^{ 2 }{ \hbar }^{ 4 }{ k }^{ 2 } } =4{ \eta }^{ 2 }\\ E=-\frac { { m }{ e }^{ 4 } }{ 32{ \pi }^{ 2 }{ { \varepsilon }_{ o } }^{ 2 }{ \hbar }^{ 2 } } \cdot \frac { 1 }{ { \eta }^{ 2 } } \\ E\cong -\frac { 13.6\space eV }{ { \eta }^{ 2 } } $$
La solución general de la parte radial de la ecuación de Schrödinger es:
No hay comentarios:
Publicar un comentario