Se estudiara el potencial de la forma
$$ V\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } k{ x }^{ 2 } $$
El cual puede reescribirse como:
$$ V\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } m{ w }^{ 2 }{ x }^{ 2 } $$
Esto se deduce de:
$$ V\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } k{ x }^{ 2 }\quad F=-\nabla V(x)\\ F=-kx=ma\quad \rightarrow \quad m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } +kx=0\\ \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } +\frac { k }{ m } x=0\quad \therefore \quad { w }^{ 2 }=\frac { k }{ m } \quad \rightarrow k=m{ w }^{ 2 } $$
La ecuación de Schrödinger queda:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ w }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Álgebra:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +\left( \frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } -{ \left( \frac { mw }{ { \hbar } } \right) }^{ 2 }{ x }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( x \right) =0\\ sea\quad \beta =\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \quad \& \quad \alpha =\frac { mw }{ { \hbar } } \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +\left( \beta -{ \alpha }^{ 2 }{ x }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( x \right) =0 $$
Cambio de variable:
$$ u=\sqrt { \alpha } x\quad \rightarrow \quad \frac { du }{ dx } =\sqrt { \alpha } \\ \frac { d\psi \left( x \right) }{ dx } =\frac { d\psi \left( u \right) }{ du } \cdot \frac { du }{ dx } =\sqrt { \alpha } \frac { d\psi \left( u \right) }{ du } \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =\frac { d }{ dx } \left( \sqrt { \alpha } \frac { d\psi \left( u \right) }{ du } \right) =\sqrt { \alpha } \frac { d }{ dx } \left( \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } \cdot \frac { du }{ dx } \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =\alpha \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } \\ \alpha \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } +\left( \beta -{ \alpha }{ u }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( u \right) =0\quad \div \quad \alpha \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( u \right) =0 $$
Si analizamos una posible solución para cuando |u| → ∞ tenemos que:
$$ { u }^{ 2 }\quad termino\quad dominante\quad \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } -{ u }^{ 2 }\cdot \psi \left( u \right) =0\\ Resolviendo\quad por\quad Operador\quad derivada:\\ \psi \left( u \right) =A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }+B{ e }^{ \frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } } $$
Evaluando los limites para que sea una función continua tenemos:
$$ \lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ \psi \left( u \right) } =A\lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ { e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } } } +B\lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ { e }^{ \frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } } } \\ \lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ \psi \left( u \right) } =A\cdot 0+B\cdot \infty \quad \therefore \quad B=0\\ \psi \left( u \right) =A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\quad para\quad u\rightarrow \infty $$
La solución general a la ecuación diferencial nos lleva a que debe ser de la forma:
$$ \psi \left( u \right) =A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H\left( u \right) \\ con\quad H\left( u \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } $$
Para determinar si este supuesto de solución satisface la ecuación diferencial, reemplazamos:
$$ H=H\left( u \right) \quad \psi =\psi \left( u \right) \\ \frac { d\psi }{ du } =-{ u }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H+A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'\\ \frac { { d }^{ 2 }\psi }{ d{ u }^{ 2 } } =-A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H+{ u }^{ 2 }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H-{ u }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'-uA{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'+A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H''\\ \frac { { d }^{ 2 }\psi }{ d{ u }^{ 2 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) \cdot \psi =0\quad \\ -A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H+{ u }^{ 2 }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H-2{ u }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'+A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H''+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H=0\\ A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot \left( H''-2uH'-H+{ u }^{ 2 }H+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) H \right) =0\\ H''-2uH'-H+{ u }^{ 2 }H+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) H=0\\ H''-2uH'+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) H=0 $$
Esta ecuación nos permitirá determinar las funciones H(u), reemplazando por la serie de potencias propuesta:
$$ H=H\left( u \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } \\ H'=\sum _{ n=1 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } \quad H''=\sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } \\ H''-2uH'+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) H=0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2u\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0 $$
Acomodando indices para ingresar todo en una sola suma:
$$ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }{ u }^{ n } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left\{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n } \right\} { u }^{ n } } =0 $$
La solución se da cuando los coeficientes son cero, por tanto tenemos:
$$ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }=0\\ { a }_{ n+2 }=\frac { 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } { a }_{ n } $$
De lo cual se obtiene la relación de recurrencia. Para la convergencia de la serie planteada tenemos:
$$ 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } =0\\ 2n+1=\frac { \beta }{ { \alpha } } ;\quad \beta =\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \quad \quad \alpha =\frac { mw }{ { \hbar } } \\ 2n+1=\frac { \frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } }{ \frac { mw }{ { \hbar } } } \\ 2n+1=\frac { 2E }{ w{ \hbar } } \\ E=\left( n+\frac { 1 }{ 2 } \right) w{ \hbar }\quad con\quad n=0,\quad 1,\space 2,\space ... $$
Esta ecuación nos permitirá determinar las funciones H(u), reemplazando por la serie de potencias propuesta:
$$ H=H\left( u \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } \\ H'=\sum _{ n=1 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } \quad H''=\sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } \\ H''-2uH'+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) H=0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2u\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0 $$
Acomodando indices para ingresar todo en una sola suma:
$$ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }{ u }^{ n } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left\{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n } \right\} { u }^{ n } } =0 $$
La solución se da cuando los coeficientes son cero, por tanto tenemos:
$$ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }=0\\ { a }_{ n+2 }=\frac { 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } { a }_{ n } $$
De lo cual se obtiene la relación de recurrencia. Para la convergencia de la serie planteada tenemos:
$$ 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } =0\\ 2n+1=\frac { \beta }{ { \alpha } } ;\quad \beta =\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \quad \quad \alpha =\frac { mw }{ { \hbar } } \\ 2n+1=\frac { \frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } }{ \frac { mw }{ { \hbar } } } \\ 2n+1=\frac { 2E }{ w{ \hbar } } \\ E=\left( n+\frac { 1 }{ 2 } \right) w{ \hbar }\quad con\quad n=0,\quad 1,\space 2,\space ... $$
Un cordial saludo. Asumiendo que el tema puede resultar de interés profesional, les cuento lo siguiente: con respecto a la unidad de medida de la Constante de Planck, resulta que tanto el Programa de Inteligencia Artificial de Microsoft "Copilot" como "ChatGpt" de Google han deducido matemáticamente! (o sea, no basado en nuevas hipótesis y/o interpretaciones teóricas) que "existe un término físico "oculto" (o sea, conceptualmente "implícito" pero ignorado en la práctica académica) en la conocida unidad de medida de la Constante de Planck, y que al ser considerada permite resolver problemas teóricos-conceptuales pendientes de solución en la Mecánica Cuántica"!. Por lo trascendental de este resultado, porque se trata de una demostración basada en cálculos matemáticos prácticamente triviales (por lo tanto, convincentes!), y además por el reconocimiento que van ganado estos programas de Inteligencia Artificial, evidentemente constituye un tema de marcado interés científico analizar seriamente la veracidad o no de tales "deducciones". Si les resulta de interés analizar estos resultados hacédmelo saber a mi dirección e-mail para enviarles los textos. Atentamente, José Alberto
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