Se estudiara el potencial de la forma
$$ V\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } k{ x }^{ 2 } $$
El cual puede reescribirse como:
$$ V\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } m{ w }^{ 2 }{ x }^{ 2 } $$
Esto se deduce de:
$$ V\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2 } k{ x }^{ 2 }\quad F=-\nabla V(x)\\ F=-kx=ma\quad \rightarrow \quad m\frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } +kx=0\\ \frac { { d }^{ 2 }x }{ d{ t }^{ 2 } } +\frac { k }{ m } x=0\quad \therefore \quad { w }^{ 2 }=\frac { k }{ m } \quad \rightarrow k=m{ w }^{ 2 } $$
La ecuación de Schrödinger queda:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ w }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Álgebra:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +\left( \frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } -{ \left( \frac { mw }{ { \hbar } } \right) }^{ 2 }{ x }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( x \right) =0\\ sea\quad \beta =\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \quad \& \quad \alpha =\frac { mw }{ { \hbar } } \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +\left( \beta -{ \alpha }^{ 2 }{ x }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( x \right) =0 $$
Cambio de variable:
$$ u=\sqrt { \alpha } x\quad \rightarrow \quad \frac { du }{ dx } =\sqrt { \alpha } \\ \frac { d\psi \left( x \right) }{ dx } =\frac { d\psi \left( u \right) }{ du } \cdot \frac { du }{ dx } =\sqrt { \alpha } \frac { d\psi \left( u \right) }{ du } \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =\frac { d }{ dx } \left( \sqrt { \alpha } \frac { d\psi \left( u \right) }{ du } \right) =\sqrt { \alpha } \frac { d }{ dx } \left( \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } \cdot \frac { du }{ dx } \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =\alpha \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } \\ \alpha \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } +\left( \beta -{ \alpha }{ u }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( u \right) =0\quad \div \quad \alpha \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) \cdot \psi \left( u \right) =0 $$
Si analizamos una posible solución para cuando |u| → ∞ tenemos que:
$$ { u }^{ 2 }\quad termino\quad dominante\quad \\ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( u \right) }{ d{ u }^{ 2 } } -{ u }^{ 2 }\cdot \psi \left( u \right) =0\\ Resolviendo\quad por\quad Operador\quad derivada:\\ \psi \left( u \right) =A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }+B{ e }^{ \frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } } $$
Evaluando los limites para que sea una función continua tenemos:
$$ \lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ \psi \left( u \right) } =A\lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ { e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } } } +B\lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ { e }^{ \frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } } } \\ \lim _{ u\rightarrow \pm \infty }{ \psi \left( u \right) } =A\cdot 0+B\cdot \infty \quad \therefore \quad B=0\\ \psi \left( u \right) =A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\quad para\quad u\rightarrow \infty $$
La solución general a la ecuación diferencial nos lleva a que debe ser de la forma:
$$ \psi \left( u \right) =A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H\left( u \right) \\ con\quad H\left( u \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } $$
Para determinar si este supuesto de solución satisface la ecuación diferencial, reemplazamos:
$$ H=H\left( u \right) \quad \psi =\psi \left( u \right) \\ \frac { d\psi }{ du } =-{ u }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H+A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'\\ \frac { { d }^{ 2 }\psi }{ d{ u }^{ 2 } } =-A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H+{ u }^{ 2 }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H-{ u }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'-uA{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'+A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H''\\ \frac { { d }^{ 2 }\psi }{ d{ u }^{ 2 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) \cdot \psi =0\quad \\ -A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H+{ u }^{ 2 }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H-2{ u }A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H'+A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H''+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot H=0\\ A{ e }^{ -\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } }\cdot \left( H''-2uH'-H+{ u }^{ 2 }H+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) H \right) =0\\ H''-2uH'-H+{ u }^{ 2 }H+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -{ u }^{ 2 } \right) H=0\\ H''-2uH'+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) H=0 $$
Esta ecuación nos permitirá determinar las funciones H(u), reemplazando por la serie de potencias propuesta:
$$ H=H\left( u \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } \\ H'=\sum _{ n=1 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } \quad H''=\sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } \\ H''-2uH'+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) H=0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2u\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0 $$
Acomodando indices para ingresar todo en una sola suma:
$$ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }{ u }^{ n } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left\{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n } \right\} { u }^{ n } } =0 $$
La solución se da cuando los coeficientes son cero, por tanto tenemos:
$$ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }=0\\ { a }_{ n+2 }=\frac { 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } { a }_{ n } $$
De lo cual se obtiene la relación de recurrencia. Para la convergencia de la serie planteada tenemos:
$$ 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } =0\\ 2n+1=\frac { \beta }{ { \alpha } } ;\quad \beta =\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \quad \quad \alpha =\frac { mw }{ { \hbar } } \\ 2n+1=\frac { \frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } }{ \frac { mw }{ { \hbar } } } \\ 2n+1=\frac { 2E }{ w{ \hbar } } \\ E=\left( n+\frac { 1 }{ 2 } \right) w{ \hbar }\quad con\quad n=0,\quad 1,\space 2,\space ... $$
Esta ecuación nos permitirá determinar las funciones H(u), reemplazando por la serie de potencias propuesta:
$$ H=H\left( u \right) =\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } \\ H'=\sum _{ n=1 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } \quad H''=\sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } \\ H''-2uH'+\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) H=0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2u\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-1 } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -2\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ n\cdot { a }_{ n }{ u }^{ n } } +\left( \frac { \beta }{ { \alpha } } -1 \right) \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=2 }^{ { n }_{ max } }{ n\left( n-1 \right) \cdot { a }_{ n }{ u }^{ n-2 } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0 $$
Acomodando indices para ingresar todo en una sola suma:
$$ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }{ u }^{ n } } -\sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }{ u }^{ n } } =0\\ \sum _{ n=0 }^{ { n }_{ max } }{ \left\{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n } \right\} { u }^{ n } } =0 $$
La solución se da cuando los coeficientes son cero, por tanto tenemos:
$$ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) \cdot { a }_{ n+2 }-\left( 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } \right) { a }_{ n }=0\\ { a }_{ n+2 }=\frac { 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } }{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } { a }_{ n } $$
De lo cual se obtiene la relación de recurrencia. Para la convergencia de la serie planteada tenemos:
$$ 2n+1-\frac { \beta }{ { \alpha } } =0\\ 2n+1=\frac { \beta }{ { \alpha } } ;\quad \beta =\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \quad \quad \alpha =\frac { mw }{ { \hbar } } \\ 2n+1=\frac { \frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } }{ \frac { mw }{ { \hbar } } } \\ 2n+1=\frac { 2E }{ w{ \hbar } } \\ E=\left( n+\frac { 1 }{ 2 } \right) w{ \hbar }\quad con\quad n=0,\quad 1,\space 2,\space ... $$
No hay comentarios:
Publicar un comentario