Efecto Compton
Moméntum y Energías antes del choque
Fotón Incidente
$$\overline { P } ={ \overline { P } }_{ 1 }$$
$$E=h\upsilon={ P }_{ 1 }C$$
Electrón
$$\overline { P } ={ \overline { 0 } }$$
$$E=E_{ o }=m_{ o }{ C }^{ 2 }$$
Moméntum y Energías después del choque
Fotón Dispersado
$$\overline { P } ={ \overline { P } }_{ 2 }$$
$${ E }^{ \prime }=h{\upsilon }^{ \prime }={ P }_{ 2 }C$$
Electrón Dispersado
$$\overline { P } ={ \overline { P }_{ 3 } }$$
$$E=m{ C }^{ 2 }=T+m_{ o }{ C }^{ 2 }$$
$${ E }^{ 2 }={ \left( { P }_{ 3 }C \right) }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ C }^{ 2 } \right) }^{ 2 }$$
$${E}^{2}={\left(T+m_{o}{C}^{2}\right)}^{2}={\left({P}_{3}C\right)}^{2}+{\left({m}_{o}{C}^{2}\right) }^{2}$$
$${T}^{2}+{\left({m}_{o}{C}^{2}\right)}^{2}+2T\left({m}_{o}{C}^{2}\right)={\left({P}_{3}C \right)}^{2}+{\left({m}_{o}{C}^{2}\right)}^{2}$$
$$\frac{{T}^{2}}{{C}^{2}}+\frac{2T\left({m}_{o}{C}^{2}\right)}{{C}^{2}}= {{P}_{3}}^{2}$$
$$\frac {{T}^{2}}{{C}^{2}}+2{m}_{o}T= {{P}_{3}}^{2}$$
Fotón Incidente
$$\overline { P } ={ \overline { P } }_{ 1 }$$
$$E=h\upsilon={ P }_{ 1 }C$$
Electrón
$$\overline { P } ={ \overline { 0 } }$$
$$E=E_{ o }=m_{ o }{ C }^{ 2 }$$
Moméntum y Energías después del choque
Fotón Dispersado
$$\overline { P } ={ \overline { P } }_{ 2 }$$
$${ E }^{ \prime }=h{\upsilon }^{ \prime }={ P }_{ 2 }C$$
Electrón Dispersado
$$\overline { P } ={ \overline { P }_{ 3 } }$$
$$E=m{ C }^{ 2 }=T+m_{ o }{ C }^{ 2 }$$
$${ E }^{ 2 }={ \left( { P }_{ 3 }C \right) }^{ 2 }+{ \left( { m }_{ o }{ C }^{ 2 } \right) }^{ 2 }$$
$${E}^{2}={\left(T+m_{o}{C}^{2}\right)}^{2}={\left({P}_{3}C\right)}^{2}+{\left({m}_{o}{C}^{2}\right) }^{2}$$
$${T}^{2}+{\left({m}_{o}{C}^{2}\right)}^{2}+2T\left({m}_{o}{C}^{2}\right)={\left({P}_{3}C \right)}^{2}+{\left({m}_{o}{C}^{2}\right)}^{2}$$
$$\frac{{T}^{2}}{{C}^{2}}+\frac{2T\left({m}_{o}{C}^{2}\right)}{{C}^{2}}= {{P}_{3}}^{2}$$
$$\frac {{T}^{2}}{{C}^{2}}+2{m}_{o}T= {{P}_{3}}^{2}$$
Moméntum (suma vectorial)
$${ \overline { P } }_{ i }={ \overline { P } }_{ f }$$
$${ \overline { P } }_{ 1 }={ \overline { P } }_{ 2 }+{ \overline { P } }_{ 3 }$$ Haciendo uso del método de la cabeza con cola tenemos:
$${ \overline { P } }_{ i }={ \overline { P } }_{ f }$$
$${ \overline { P } }_{ 1 }={ \overline { P } }_{ 2 }+{ \overline { P } }_{ 3 }$$ Haciendo uso del método de la cabeza con cola tenemos:
A partir del diagrama se usa el teorema del coseno para obtener la magnitud del momento asociado al electrón dispersado.
$${{P}_{3}}^{2}={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos {\theta}$$
$${{P}_{3}}^{2}={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos {\theta}$$
Balance de Energías
$${ E }_{ i }={ E }_{ f }$$
$$E+m_{ o }{ C }^{ 2 }={ E }^{ \prime }+T+m_{ o }{ C }^{ 2 }$$
$$T=E-{ E }^{ \prime }$$
$$T={ P }_{ 1 }C-{ P }_{ 2 }C$$
$$T=\left( { P }_{ 1 }-{ P }_{ 2 } \right) C$$
igualando dos ecuaciones
$$\frac{{T}^{2}}{{C}^{2}}+2{m}_{o}T={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos {\theta}$$
Reemplazando T tenemos:
$$\frac{{\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)}^{2}{C}^{2}}{{C}^{2}}+2{m}_{o}\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)C={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos {\theta} $$
reorganizando y expandiendo terminos
$${{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}+2{m}_{o}C\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos{\theta}$$
Anulando terminos y dividiendo entre -2 tenemos:
$${P}_{1}{P}_{2}-{m}_{o}C\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)={P}_{1}{P}_{2}\cos{\theta}$$
BLAAA
$${P}_{1}{P}_{2}-{P}_{1}{P}_{2}\cos{\theta}={m}_{o}C\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)$$
$$\frac{1-\cos{\theta}}{{m}_{o}C}=\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}{P}_{2}} $$
se sabe por los postulados de de Broglie que:
$$P=\frac{h}{\lambda }$$
Acorde con la notacion escrita en # tenemos:
$${P}_{1}=\frac{h}{\lambda}\quad\quad\quad{P}_{2}=\frac{h}{{\lambda}^{\prime}}$$
Reemplazando tenemos:
$$\frac{1-\cos{\theta}}{{m}_{o}C}=\frac{\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{{\lambda}^{\prime}}}{\frac{1}{\lambda\lambda^{\prime}}}\frac{1}{h}$$
Reorganizando
$${\lambda}^{\prime}-{\lambda}=\frac{h}{{m}_{o}C}\left(1-\cos{\theta}\right)\quad \blacksquare $$
Esta es la exprecion mas general del efecto compton, de la cual se destaca la longitud de onda compton dada por:
$${ \lambda }_{ C }=\frac { h }{ { m }_{ o }C }$$
De dicha expresión se pueden establecer relaciones con la longitud de onda de de Broglie de la siguiente manera:
$$\frac{{\lambda}_{C}}{\lambda}=\sqrt{{\left(\frac{E}{{m}_{o}{C}^{2}}\right)}^{2}-1}$$
DEMOSTRACIÓN:
AQUI SE PONDRA LA DEMOSTRACION
De la ecuacion general del efecto compton se puede obtener una expresion para el ... (algo con energia) ... propuesto de la siguiente manera:
$$\frac{\Delta E}{E}=\frac{h{\upsilon }^{\prime}}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta} \right)$$
DEMOSTRACIÓN:
A partir de la ecuación del efecto compton multiplicamos toda la expresión por el factor 1/hC
$$\left({\lambda}^{\prime}-{\lambda}=\frac{h}{{m}_{e}C}\left(1-\cos{\theta}\right)\right)\frac{1}{hC}$$
$$\frac{{\lambda}^{\prime}}{hC}-\frac{{\lambda}}{hC}=\frac{1}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta}\right)$$
Deacuerdo a los postulado de de Brogli tenemos:
$$\frac{1}{{E}^{\prime}}-\frac{{1}}{E}=\frac{1}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta }\right)$$
$$\frac{E-{E}^{\prime}}{E{E}^{\prime}}=\frac{1}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta}\right)$$
$$\frac{E-{E}^{\prime}}{E}=\frac{{E}^{\prime}}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos {\theta}\right)$$
Poniendo E' del lado derecho en terminos de la frecuencia, finalmente tenemos:
$$\frac{\Delta E}{E} = \frac{h{\upsilon}^{\prime}}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta}\right) \quad \blacksquare$$
$${ E }_{ i }={ E }_{ f }$$
$$E+m_{ o }{ C }^{ 2 }={ E }^{ \prime }+T+m_{ o }{ C }^{ 2 }$$
$$T=E-{ E }^{ \prime }$$
$$T={ P }_{ 1 }C-{ P }_{ 2 }C$$
$$T=\left( { P }_{ 1 }-{ P }_{ 2 } \right) C$$
igualando dos ecuaciones
$$\frac{{T}^{2}}{{C}^{2}}+2{m}_{o}T={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos {\theta}$$
Reemplazando T tenemos:
$$\frac{{\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)}^{2}{C}^{2}}{{C}^{2}}+2{m}_{o}\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)C={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos {\theta} $$
reorganizando y expandiendo terminos
$${{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}+2{m}_{o}C\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)={{P}_{1}}^{2}+{{P}_{2}}^{2}-2{P}_{1}{P}_{2}\cos{\theta}$$
Anulando terminos y dividiendo entre -2 tenemos:
$${P}_{1}{P}_{2}-{m}_{o}C\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)={P}_{1}{P}_{2}\cos{\theta}$$
BLAAA
$${P}_{1}{P}_{2}-{P}_{1}{P}_{2}\cos{\theta}={m}_{o}C\left({P}_{1}-{P}_{2}\right)$$
$$\frac{1-\cos{\theta}}{{m}_{o}C}=\frac{{P}_{1}-{P}_{2}}{{P}_{1}{P}_{2}} $$
se sabe por los postulados de de Broglie que:
$$P=\frac{h}{\lambda }$$
Acorde con la notacion escrita en # tenemos:
$${P}_{1}=\frac{h}{\lambda}\quad\quad\quad{P}_{2}=\frac{h}{{\lambda}^{\prime}}$$
Reemplazando tenemos:
$$\frac{1-\cos{\theta}}{{m}_{o}C}=\frac{\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{{\lambda}^{\prime}}}{\frac{1}{\lambda\lambda^{\prime}}}\frac{1}{h}$$
Reorganizando
$${\lambda}^{\prime}-{\lambda}=\frac{h}{{m}_{o}C}\left(1-\cos{\theta}\right)\quad \blacksquare $$
Esta es la exprecion mas general del efecto compton, de la cual se destaca la longitud de onda compton dada por:
$${ \lambda }_{ C }=\frac { h }{ { m }_{ o }C }$$
De dicha expresión se pueden establecer relaciones con la longitud de onda de de Broglie de la siguiente manera:
$$\frac{{\lambda}_{C}}{\lambda}=\sqrt{{\left(\frac{E}{{m}_{o}{C}^{2}}\right)}^{2}-1}$$
DEMOSTRACIÓN:
AQUI SE PONDRA LA DEMOSTRACION
De la ecuacion general del efecto compton se puede obtener una expresion para el ... (algo con energia) ... propuesto de la siguiente manera:
$$\frac{\Delta E}{E}=\frac{h{\upsilon }^{\prime}}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta} \right)$$
DEMOSTRACIÓN:
A partir de la ecuación del efecto compton multiplicamos toda la expresión por el factor 1/hC
$$\left({\lambda}^{\prime}-{\lambda}=\frac{h}{{m}_{e}C}\left(1-\cos{\theta}\right)\right)\frac{1}{hC}$$
$$\frac{{\lambda}^{\prime}}{hC}-\frac{{\lambda}}{hC}=\frac{1}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta}\right)$$
Deacuerdo a los postulado de de Brogli tenemos:
$$\frac{1}{{E}^{\prime}}-\frac{{1}}{E}=\frac{1}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta }\right)$$
$$\frac{E-{E}^{\prime}}{E{E}^{\prime}}=\frac{1}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta}\right)$$
$$\frac{E-{E}^{\prime}}{E}=\frac{{E}^{\prime}}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos {\theta}\right)$$
Poniendo E' del lado derecho en terminos de la frecuencia, finalmente tenemos:
$$\frac{\Delta E}{E} = \frac{h{\upsilon}^{\prime}}{{m}_{e}{C}^{2}}\left(1-\cos{\theta}\right) \quad \blacksquare$$
