Del oscilador armónico cuántico tenemos que la ecuación de Schrödinger puede escribirse como:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ n } }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ n }={ E }_{ n }{ \psi }_{ n } \quad (1) $$
Se tratara de llevar la expresión matemática de tal forma que se pueda expresar como una diferencia de cuadrados complejos de la forma:
$$ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=\left( x-iy \right) \left( x+iy \right) \quad (2) $$
Modificando un poco la ecuación (1) tenemos:
$$ \frac { 1 }{ 2m } \left\{ -{ \hbar }^{ 2 }\cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ n } }{ d{ x }^{ 2 } } +{ m }^{ 2 }{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ n } \right\} ={ E }_{ n }{ \psi }_{ n }\\ \frac { 1 }{ 2m } \left\{ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ { i }^{ 2 } } \cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ n } }{ d{ x }^{ 2 } } +{ m }^{ 2 }{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ n } \right\} ={ E }_{ n }{ \psi }_{ n }\\ \frac { 1 }{ 2m } \left\{ { \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } \right) }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ n }+{ \left( m\omega x \right) }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ n } \right\} ={ E }_{ n }{ \psi }_{ n }\\ \frac { 1 }{ 2m } \left\{ { \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } \right) }^{ 2 }+{ \left( m\omega x \right) }^{ 2 } \right\} \cdot { \psi }_{ n }={ E }_{ n }{ \psi }_{ n } $$
Usando la ecuación (2), la expresión la podemos escribir como:
$$ x\rightarrow \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } \quad y\rightarrow m\omega x\\ \left\{ { \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } \right) }^{ 2 }+{ \left( m\omega x \right) }^{ 2 } \right\} =\left\{ { \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }\left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) \right\} \\ \frac { 1 }{ 2m } \cdot \left\{ { \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }\left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) \right\} \cdot { \psi }_{ n }={ E }_{ n }{ \psi }_{ n } $$
Reorganizando un poco la expresión:
$$ \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \left( \frac { { \hbar } }{ { i } } \cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) \cdot { \psi }_{ n }={ E }_{ n }{ \psi }_{ n }\\ \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) \cdot { \psi }_{ n }={ E }_{ n }{ \psi }_{ n } $$
De esta ultima expresión se obtienen los operadores de creación y aniquilación los cuales están dados por:
$$ \underbrace { \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) } }_{ { a }^{ + } } \cdot \underbrace { \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) }_{ { a }^{ - } } \cdot { \psi }_{ n }={ E }_{ n }{ \psi }_{ n } $$
Operador de Creación:
$$ { a }^{ + }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) } $$
Operador de Aniquilación:
$$ { a }^{ - }=\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) } $$
Cada que se aplica el operador escalera sobre la función de onda del oscilador armónico simple lo llevara al estado siguiente o al estado anterior, según sea el caso. Para ilustrar un poco el como actúan estos operadores, hallaremos la función de onda y la energía en el estado base (n=0) y en el estado siguiente (n=1), partiendo del hecho de que se conoce la energía para cualquier estado n, la cual ya fue demostrada (ver demostración aquí) la cual esta dada por:
$$ { E }_{ n }=\left( n+\frac { 1 }{ 2 } \right) \cdot \omega \hbar \quad \quad n=0,\quad 1,\quad 2,\quad... $$
Para el estado base y el estado siguiente (n=1) la energía es:
$$ { E }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } \cdot \omega \hbar \quad \quad \quad { E }_{ 1 }=\frac { 3 }{ 2 } \cdot \omega \hbar $$
Las cuales trataremos de comprobar. Si estamos en el estado base y aplicamos el operador aniquilador sobre la función de onda para dicho estado, tendremos que la energía sera igual a cero, puesto que solo existen valores para n>0 y ademas para este sistema no existen valores de energía negativos. Matemáticamente podemos escribirlo como:
$$ \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) }{ \psi }_{ o }=0 $$
Actuando el operador sobre la función del estado base tenemos:
$$ { -i{ \hbar }\cdot \frac { d{ \psi }_{ o } }{ dx } -im\omega x\cdot { \psi }_{ o }=0 }\\ { -{ \hbar }\cdot \frac { d{ \psi }_{ o } }{ dx } =m\omega x\cdot { \psi }_{ o } }\\ { \frac { d{ \psi }_{ o } }{ dx } =-\frac { m\omega }{ { \hbar } } x\cdot { \psi }_{ o } } $$
Obtenemos una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes de variable separable, la cual la solucionamos:
$$ { \frac { d{ \psi }_{ o } }{ { \psi }_{ o } } =-\frac { m\omega }{ { \hbar } } x\cdot dx }\\ \int { \frac { d{ \psi }_{ o } }{ { \psi }_{ o } } } =-\frac { m\omega }{ { \hbar } } \int { x\cdot dx } \\ \ln { \left( { \psi }_{ o } \right) } =-\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 }+C\\ { e }^{ \ln { \left( { \psi }_{ o } \right) } }={ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 }+C }\\ { \psi }_{ o }={ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot { e }^{ C }\quad \quad K\rightarrow { e }^{ C }\\ { \psi }_{ o }=K{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } $$
Donde K se obtiene a partir de la condición de normalización; aplicando la condición tenemos:
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \left| { \psi }_{ o }\left( x \right) \right| }^{ 2 }\cdot dx } =1\\ { \left| { \psi }_{ o }\left( x \right) \right| }^{ 2 }=K{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot K{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ K }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { m\omega }{ { \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ { K }^{ 2 }\cdot \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { m\omega }{ { \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot dx } =1 $$
Esta integral gaussiana que resulta se puede resolver fácilmente con el cálculo multivariable, cuya solución general es de la forma:
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }\cdot dx } =\sqrt { \frac { \pi }{ \alpha } } $$
Para nuestro caso tenemos que:
$$ \alpha =\frac { m\omega }{ { \hbar } } \quad \therefore \quad \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { m\omega }{ { \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot dx } =\sqrt { \frac { \pi { \hbar } }{ m\omega } } \\ { K }^{ 2 }\cdot \sqrt { \frac { \pi { \hbar } }{ m\omega } } =1\\ { K }^{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { \frac { \pi { \hbar } }{ m\omega } } } \\ { K }^{ 2 }=\sqrt { \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \quad \therefore \quad K=\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } $$
Con esta condición tenemos definida por completo nuestra función de onda en el estado base:
$$ { \psi }_{ o }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } $$
Para encontrar la energía en el estado base, reemplazamos la función encontrada en la ecuación (1):
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ o } }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ o }={ E }_{ o }{ \psi }_{ o }\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) ={ E }_{ o }\left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) \\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left( { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }=\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d } }{ d{ x } } \left( -\frac { m\omega x }{ { \hbar } } { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \left( \frac { m\omega }{ { \hbar } } { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }-{ \left( \frac { m\omega x }{ { \hbar } } \right) }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \left( \frac { m\omega }{ { \hbar } } -{ \left( \frac { m\omega x }{ { \hbar } } \right) }^{ 2 } \right) { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ \frac { \omega \hbar }{ { 2 } } -\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }={ E }_{ o }\quad \quad \therefore \quad { E }_{ o }=\frac { \omega \hbar }{ { 2 } } \quad \blacksquare $$
De esta forma queda comprobada la energía en el estado base del sistema y a partir de esto hallaremos la función de onda y la energía en el estado siguiente (n=1) usando el operador de creación, actuando sobre el estado base del sistema de la siguiente manera:
$$ { \psi }_{ o }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\quad \quad \therefore \quad { \psi }_{ 1 }\left( x \right) ={ a }^{ + }{ \psi }_{ o }\left( x \right) \\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }{ \psi }_{ o }\left( x \right) \\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } \left( { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +im\omega x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \left( -\frac { m\omega x }{ { \hbar } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +im\omega x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \left( im\omega x\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }+im\omega x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 2im\omega }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } $$
De igual forma que en el estado base, reemplazaremos la función de onda en la ecuación (1) para obtener el valor de su energía en dicho estado, dado a que los cálculos son muy extensos se presentaran cálculos directos que pueden comprobaren fácilmente:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ 1 } }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ 1 }={ E }_{ 1 }{ \psi }_{ 1 }\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) ={ E }_{ 1 }\left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) \\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d } }{ d{ x } } \left( { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }-\frac { m\omega { x }^{ 2 } }{ { \hbar } } { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \left( { x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) ={ E }_{ 1 }\cdot { x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\\ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \left( \frac { 3m\omega { x } }{ { \hbar } } -\frac { { m }^{ 2 }{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 3 } }{ { { \hbar } }^{ 2 } } \right) { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 3 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ 1 }\cdot { x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\\ \frac { 3\omega { \hbar } }{ { 2 } } -\frac { 1 }{ 2 } { m }{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }={ E }_{ 1 }\quad \quad \therefore \quad { E }_{ 1 }=\frac { 3\omega { \hbar } }{ { 2 } } \quad \blacksquare $$
En resumen hemos encontrado la función de onda y su energía en el estado base y en el estado n=1:
$$ { \psi }_{ o }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\quad \rightarrow \quad { E }_{ o }=\frac { \omega \hbar }{ { 2 } } \\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\rightarrow \quad { E }_{ 1 }=\frac { 3\omega { \hbar } }{ { 2 } } $$
Fin...
Para el estado base y el estado siguiente (n=1) la energía es:
$$ { E }_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2 } \cdot \omega \hbar \quad \quad \quad { E }_{ 1 }=\frac { 3 }{ 2 } \cdot \omega \hbar $$
Las cuales trataremos de comprobar. Si estamos en el estado base y aplicamos el operador aniquilador sobre la función de onda para dicho estado, tendremos que la energía sera igual a cero, puesto que solo existen valores para n>0 y ademas para este sistema no existen valores de energía negativos. Matemáticamente podemos escribirlo como:
$$ \frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } -im\omega x \right) }{ \psi }_{ o }=0 $$
Actuando el operador sobre la función del estado base tenemos:
$$ { -i{ \hbar }\cdot \frac { d{ \psi }_{ o } }{ dx } -im\omega x\cdot { \psi }_{ o }=0 }\\ { -{ \hbar }\cdot \frac { d{ \psi }_{ o } }{ dx } =m\omega x\cdot { \psi }_{ o } }\\ { \frac { d{ \psi }_{ o } }{ dx } =-\frac { m\omega }{ { \hbar } } x\cdot { \psi }_{ o } } $$
Obtenemos una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes de variable separable, la cual la solucionamos:
$$ { \frac { d{ \psi }_{ o } }{ { \psi }_{ o } } =-\frac { m\omega }{ { \hbar } } x\cdot dx }\\ \int { \frac { d{ \psi }_{ o } }{ { \psi }_{ o } } } =-\frac { m\omega }{ { \hbar } } \int { x\cdot dx } \\ \ln { \left( { \psi }_{ o } \right) } =-\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 }+C\\ { e }^{ \ln { \left( { \psi }_{ o } \right) } }={ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 }+C }\\ { \psi }_{ o }={ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot { e }^{ C }\quad \quad K\rightarrow { e }^{ C }\\ { \psi }_{ o }=K{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } $$
Donde K se obtiene a partir de la condición de normalización; aplicando la condición tenemos:
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \left| { \psi }_{ o }\left( x \right) \right| }^{ 2 }\cdot dx } =1\\ { \left| { \psi }_{ o }\left( x \right) \right| }^{ 2 }=K{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot K{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ K }^{ 2 }{ e }^{ -\frac { m\omega }{ { \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ { K }^{ 2 }\cdot \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { m\omega }{ { \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot dx } =1 $$
Esta integral gaussiana que resulta se puede resolver fácilmente con el cálculo multivariable, cuya solución general es de la forma:
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }\cdot dx } =\sqrt { \frac { \pi }{ \alpha } } $$
Para nuestro caso tenemos que:
$$ \alpha =\frac { m\omega }{ { \hbar } } \quad \therefore \quad \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\frac { m\omega }{ { \hbar } } { x }^{ 2 } }\cdot dx } =\sqrt { \frac { \pi { \hbar } }{ m\omega } } \\ { K }^{ 2 }\cdot \sqrt { \frac { \pi { \hbar } }{ m\omega } } =1\\ { K }^{ 2 }=\frac { 1 }{ \sqrt { \frac { \pi { \hbar } }{ m\omega } } } \\ { K }^{ 2 }=\sqrt { \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \quad \therefore \quad K=\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } $$
Con esta condición tenemos definida por completo nuestra función de onda en el estado base:
$$ { \psi }_{ o }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } $$
Para encontrar la energía en el estado base, reemplazamos la función encontrada en la ecuación (1):
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ o } }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ o }={ E }_{ o }{ \psi }_{ o }\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) ={ E }_{ o }\left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) \\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left( { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }=\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d } }{ d{ x } } \left( -\frac { m\omega x }{ { \hbar } } { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \left( \frac { m\omega }{ { \hbar } } { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }-{ \left( \frac { m\omega x }{ { \hbar } } \right) }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \left( \frac { m\omega }{ { \hbar } } -{ \left( \frac { m\omega x }{ { \hbar } } \right) }^{ 2 } \right) { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ o }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ \frac { \omega \hbar }{ { 2 } } -\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }={ E }_{ o }\quad \quad \therefore \quad { E }_{ o }=\frac { \omega \hbar }{ { 2 } } \quad \blacksquare $$
De esta forma queda comprobada la energía en el estado base del sistema y a partir de esto hallaremos la función de onda y la energía en el estado siguiente (n=1) usando el operador de creación, actuando sobre el estado base del sistema de la siguiente manera:
$$ { \psi }_{ o }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\quad \quad \therefore \quad { \psi }_{ 1 }\left( x \right) ={ a }^{ + }{ \psi }_{ o }\left( x \right) \\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }{ \psi }_{ o }\left( x \right) \\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } +im\omega x \right) }\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \frac { d }{ dx } \left( { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +im\omega x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \left( -i{ \hbar }\cdot \left( -\frac { m\omega x }{ { \hbar } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +im\omega x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 1 }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \left( im\omega x\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }+im\omega x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\frac { 2im\omega }{ \sqrt { 2m } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } $$
De igual forma que en el estado base, reemplazaremos la función de onda en la ecuación (1) para obtener el valor de su energía en dicho estado, dado a que los cálculos son muy extensos se presentaran cálculos directos que pueden comprobaren fácilmente:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 }{ \psi }_{ 1 } }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot { \psi }_{ 1 }={ E }_{ 1 }{ \psi }_{ 1 }\\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) ={ E }_{ 1 }\left( \sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) \\ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { { d } }{ d{ x } } \left( { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }-\frac { m\omega { x }^{ 2 } }{ { \hbar } } { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } \right) +\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }\cdot \left( { x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } } \right) ={ E }_{ 1 }\cdot { x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\\ \frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \left( \frac { 3m\omega { x } }{ { \hbar } } -\frac { { m }^{ 2 }{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 3 } }{ { { \hbar } }^{ 2 } } \right) { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 3 }\cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }={ E }_{ 1 }\cdot { x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\\ \frac { 3\omega { \hbar } }{ { 2 } } -\frac { 1 }{ 2 } { m }{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 2 } m{ \omega }^{ 2 }{ x }^{ 2 }={ E }_{ 1 }\quad \quad \therefore \quad { E }_{ 1 }=\frac { 3\omega { \hbar } }{ { 2 } } \quad \blacksquare $$
En resumen hemos encontrado la función de onda y su energía en el estado base y en el estado n=1:
$$ { \psi }_{ o }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { m\omega }{ \pi { \hbar } } } \cdot { e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } }\quad \rightarrow \quad { E }_{ o }=\frac { \omega \hbar }{ { 2 } } \\ { \psi }_{ 1 }\left( x \right) =\sqrt [ 4 ]{ \frac { 4{ m }^{ 3 }{ \omega }^{ 5 } }{ \pi { \hbar } } } { \cdot x{ e }^{ -\frac { m\omega }{ 2{ \hbar } } { x }^{ 2 } } }\rightarrow \quad { E }_{ 1 }=\frac { 3\omega { \hbar } }{ { 2 } } $$
Fin...
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