RELATIVIDAD ESPECIAL

Para hacer una deducción fácil de las transformaciones de Lorentz (No es una demostración matemática), vamos a suponer dos observadores inerciales A, B y un evento F. Para el desarrollo vamos a considerar que:

➤ El espacio es homogéneo e isótropo.

➤ El tiempo es homogéneo.

➤ El movimiento que se describirá se hará en una sola dirección.

➤ En el tiempo t=t'=0, ambos observadores están en el punto (0,0).  

Ademas se tendrán en cuenta los principios de la relatividad:

➤ Todo observador que se desplace a velocidad constante uno de otra, las leyes físicas generales que      experimentan son equivalente.

➤ La velocidad de la luz es la misma para cualquier observador independientemente de la fuente que      la produce.

Observador A:

Este observador es "fijo" y las coordenadas para describir un evento estarán dadas por (x, t).

Observador B:

Este observador se mueve a una velocidad constante v  con respecto a A; las coordenadas para describir un evento estarán dadas por (x', t').

Evento:

El evento que sera observado por A y B estará dado por la propagación de un fotón, el cual se mueve a la velocidad de la luz C, alejándose de los observadores. 

Claramente ambos observadores describirán el evento en distintas proporciones (pero equivalentes). Buscaremos una representación matemática que me permita conocer la relación existente entre ambas coordenadas. Considerando el diagrama, vamos a considerar que la proporción entre ambas medidas están dadas por:   

$$ \left( \begin{matrix} x' \\ t' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ t \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ t \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ PS-QR } \begin{pmatrix} S & -Q \\ -R & P \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x' \\ t' \end{matrix} \right) $$

Donde P, Q, R, S, son constantes de proporcionalidad entre ambos sistemas de referencia.

Observador B visto desde A: 

El observador A mide la posición de B en el tiempo t, la cual esta dada por x=v*t. La distancia medida por el observador B es x'=0 dado a que el no se mueve con respecto a si mismo y el tiempo esta dado por t'. Matematicamente tenemos:

$$ \left( \begin{matrix} 0 \\ t' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} vt \\ t \end{matrix} \right)  $$

A partir de esto tenemos:

$$ \begin{cases} 0=Pvt+Qt \\ t'=Rvt+St \end{cases}\quad \therefore \quad Q=-Pv $$

Observador A visto desde B:

Desde el punto de vista de B el observador A parece alejarse; el observador B mide la posición de A en el tiempo t', la cual esta dada por x'=-v*t. La distancia medida por el observador A respecto a si mismo es x'=0 y el tiempo esta dado por t. Matematicamente tenemos:

$$ \left( \begin{matrix} -vt' \\ t' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} 0 \\ t \end{matrix} \right)  $$

A partir de esto tenemos:

$$ \begin{cases} -vt'=Qt \\ t'=St \end{cases}\quad \therefore \quad Q=-Sv $$

Esto implica que P=S, por tanto tenemos:

$$ \left( \begin{matrix} x' \\ t' \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} P & -Pv \\ R & P \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ t \end{matrix} \right)  $$ 

Evento visto desde A & B:

El fotón viaja a la velocidad de la luz, por tanto la posición medida en A en el tiempo t es x=c*t; mientras que para el observador B el fotón se aleja en el tiempo t' una distancia x'=c*t'. Matemáticamente tenemos:

$$ \begin{cases} ct'=Pct-Pvt \\ t'=Rct+Pt \end{cases}\quad \therefore \quad R=-P\frac { v }{ { c }^{ 2 } } $$

De lo cual tenemos que:

$$ \left( \begin{matrix} x' \\ t' \end{matrix} \right) =P\begin{pmatrix} 1 & -v \\ -\frac { v }{ { c }^{ 2 } }  & 1 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x \\ t \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ t \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ P\left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  \right)  } \begin{pmatrix} 1 & v \\ \frac { v }{ { c }^{ 2 } }  & 1 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} x' \\ t' \end{matrix} \right)  $$

A partir de estas expresiones se debe cumplir que: 

$$ P=\frac { 1 }{ P\left( 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  \right)  } $$

Esto se debe cumplir dado a que el cambio de sistema de referencia solo implica el cambio de signo en las magnitudes de la velocidad, tenemos:

$$ P=\frac { 1 }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } $$ 

De esta manera encontramos las expresiones que relacionan a ambos sistemas: 

$$ x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } ;\quad t'=\frac { t-\frac { v }{ { c }^{ 2 } } x }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } \\ x=\frac { x'+vt }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } ;\quad t=\frac { t'+\frac { v }{ { c }^{ 2 } } x' }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } $$

Este resultado se puede extender a las demás coordenadas espaciales, si se tiene un sistema en reposo A y otro sistema móvil a velocidad constante que se aleja a lo largo de x, la variación en y, & z no se verán alteradas y serán iguales en cualquiera de los dos sistemas. Con esta extensión tenemos:

$$ x'=\frac { x-vt }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  } ;\quad y'=y;\quad z'=z;\quad \\ t'=\frac { t-\frac { v }{ { c }^{ 2 } } x }{ \sqrt { 1-\frac { { v }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 } }  }  }  $$