EC. DE SCHRÖDINGER EN COORDENADAS ESFÉRICAS

Laplaciano en Coordenadas Esféricas:

$$ { \nabla  }^{ 2 }\psi \left( r,\space \theta ,\space \phi  \right) =\frac { 1 }{ { r }^{ 2 }\sin { \theta  }  } \left\{ \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\sin { \theta  } \frac { \partial \psi  }{ \partial r }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \frac { \partial \psi  }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial \phi  } \left( \frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } \frac { \partial \psi  }{ \partial \phi  }  \right)  \right\} $$

Ecuación de Schrödinger: 

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \cdot { \nabla  }^{ 2 }\psi \left( r,\space \theta ,\space \phi  \right) +V\left( r \right) \cdot \psi \left( r,\space \theta ,\space \phi  \right) =E\cdot \psi \left( r,\space \theta ,\space \phi  \right) $$

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { 1 }{ { r }^{ 2 }\sin { \theta  }  } \left\{ \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\sin { \theta  } \frac { \partial \psi  }{ \partial r }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \frac { \partial \psi  }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial \phi  } \left( \frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } \frac { \partial \psi  }{ \partial \phi  }  \right)  \right\} +V\left( r \right) \cdot \psi =E\cdot \psi \\ Suponer\space \psi \left( r,\space \theta ,\space \phi  \right) =R\left( r \right) N\left( \theta ,\space \phi  \right) ;\space R=R\left( r \right) \space N=N\left( \theta ,\space \phi  \right) \\ \frac { \partial \psi  }{ \partial r } =N\frac { \partial R }{ \partial r } ;\space \frac { \partial \psi  }{ \partial \theta  } =R\frac { \partial N }{ \partial \theta  } ;\space \frac { \partial \psi  }{ \partial \phi  } =R\frac { \partial N }{ \partial \phi  } \\ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \cdot \frac { 1 }{ { r }^{ 2 }\sin { \theta  }  } \left\{ \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\sin { \theta  } N\frac { \partial R }{ \partial r }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } R\frac { \partial N }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { \partial  }{ \partial \phi  } \left( \frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } R\frac { \partial N }{ \partial \phi  }  \right)  \right\} +V\left( r \right) \cdot RN=E\cdot RN\\ \frac { 1 }{ { r }^{ 2 }\sin { \theta  }  } \left\{ N\frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\sin { \theta  } \frac { \partial R }{ \partial r }  \right) +R\frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial N }{ \partial \theta  }  \right) +R\frac { \partial  }{ \partial \phi  } \left( \frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } \cdot \frac { \partial N }{ \partial \phi  }  \right)  \right\} +\frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right)  \right) \cdot RN=0 $$

$$ \frac { N }{ { r }^{ 2 } } \cdot \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\frac { \partial R }{ \partial r }  \right) +\frac { R }{ { r }^{ 2 }\sin { \theta  }  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial N }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { R }{ { r }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \theta  }  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }N }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } +\frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right)  \right) \cdot RN=0\\ Multiplicando\space por:\space \frac { { r }^{ 2 } }{ RN } \space y\space reagrupando... \\ \frac { 1 }{ R } \cdot \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\frac { \partial R }{ \partial r }  \right) +\frac { 1 }{ N\sin { \theta  }  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial N }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { 1 }{ N\sin ^{ 2 }{ \theta  }  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }N }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } +\frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right)  \right) { r }^{ 2 }=0\\ \left\{ \frac { 1 }{ R } \cdot \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\frac { \partial R }{ \partial r }  \right) +\frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right)  \right) { r }^{ 2 } \right\} +\left\{ \frac { 1 }{ N\sin { \theta  }  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial N }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { 1 }{ N\sin ^{ 2 }{ \theta  }  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }N }{ \partial { \phi  }^{ 2 } }  \right\} =0\\ Separación\space de\space variables,\space igualando\space cada\space termino\space a:\space l\left( l+1 \right) \space de\space tal\space forma\space que:\\ l\left( l+1 \right) -l\left( l+1 \right) =0;\space por\space tanto\space tenemos:\\ \frac { 1 }{ R } \cdot \frac { \partial  }{ \partial r } \left( { r }^{ 2 }\frac { \partial R }{ \partial r }  \right) +\frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right)  \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) \space Ec.\space de\space Schrödinger\space Radial.\\ \frac { 1 }{ N\sin { \theta  }  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial N }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { 1 }{ N\sin ^{ 2 }{ \theta  }  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }N }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } =-l\left( l+1 \right) \space Ec.\space de\space Schrödinger \space Angular. $$

Suponiendo separación de variables en la ecuación angular tenemos:

$$ N\left( \theta ,\space \phi  \right) =\Theta \left( \theta  \right) \Phi \left( \phi  \right) ;\space \Theta =\Theta \left( \theta  \right) ,\space \Phi =\Phi \left( \phi  \right) \\ \frac { \partial N }{ \partial \theta  } =\Phi \frac { \partial \Theta  }{ \partial \theta  } \space \frac { { \partial  }^{ 2 }N }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } =\Theta \frac { { \partial  }^{ 2 }\Phi  }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } ;\space Multiplicando\space por\space \sin ^{ 2 }{ \theta  } \space \\ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta \Phi  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \Phi \frac { \partial \Theta  }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { 1 }{ \Theta \Phi  } \cdot \Theta \frac { { \partial  }^{ 2 }\Phi  }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  }=0\\ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial \Theta  }{ \partial \theta  }  \right) +\frac { 1 }{ \Phi  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }\Phi  }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } =0\\ \left\{ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial \Theta  }{ \partial \theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  }  \right\} +\left\{ \frac { 1 }{ \Phi  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }\Phi  }{ \partial { \phi  }^{ 2 } }  \right\} =0\\ Separando\space variables\space como\space { m }^{ 2 },\space de\space tal\space forma\space que:\space \\ { m }^{ 2 }-{ m }^{ 2 }=0\\ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta  } \cdot \frac { \partial  }{ \partial \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { \partial \Theta  }{ \partial \theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } ={ m }^{ 2 }\space Ec.\quad Polar\\ \frac { 1 }{ \Phi  } \cdot \frac { { \partial  }^{ 2 }\Phi  }{ \partial { \phi  }^{ 2 } } =-{ m }^{ 2 }\space Ec.\space Azimutal $$

Recopilación de las ecuaciones expresadas en derivadas totales:

$$ R=R\left( r \right) ,\space \Theta =\Theta \left( \theta  \right) ,\space \Phi =\Phi \left( \phi  \right) \\ \frac { 1 }{ R } \cdot \frac { d  }{ d r } \left( { r }^{ 2 }\frac { d R }{ d r }  \right) +\frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } } \left( E-V\left( r \right)  \right) { r }^{ 2 }=l\left( l+1 \right) \space Ec.\space Radial\\ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta  } \cdot \frac { d  }{ d \theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { d \Theta  }{ d \theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } ={ m }^{ 2 }\space Ec.\space Polar\\ \frac { 1 }{ \Phi  } \cdot \frac { { d  }^{ 2 }\Phi  }{ d { \phi  }^{ 2 } } =-{ m }^{ 2 }\space Ec.\space Azimutal $$

La solución de la ecuación radial dependerá del potencial, la ecuación polar y azimutal se pueden solucionar. 

Ecuación Azimutal:

$$ \frac { 1 }{ \Phi  } \cdot \frac { { d  }^{ 2 }\Phi  }{ d { \phi  }^{ 2 } } =-{ m }^{ 2 }\\ \frac { { d  }^{ 2 }\Phi  }{ d { \phi  }^{ 2 } } +{ m }^{ 2 }\Phi =0\\ \Phi ={ e }^{ \pm im\phi  } $$

Ecuación Polar:

$$ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta  } \cdot \frac { d }{ d\theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { d\Theta  }{ d\theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } ={ m }^{ 2 }\\ \sin { \theta  } \cdot \frac { d }{ d\theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { d\Theta  }{ d\theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } \Theta -{ m }^{ 2 }\Theta =0 $$

$$ \frac { \sin { \theta  }  }{ \Theta  } \cdot \frac { d }{ d\theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { d\Theta  }{ d\theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } ={ m }^{ 2 }\\ \sin { \theta  } \cdot \frac { d }{ d\theta  } \left( \sin { \theta  } \cdot \frac { d\Theta  }{ d\theta  }  \right) +l\left( l+1 \right) \sin ^{ 2 }{ \theta  } \Theta -{ m }^{ 2 }\Theta =0\\ x=\cos { \theta  } ,\quad \frac { dx }{ d\theta  } =-\sin { \theta  } \rightarrow \quad \frac { d\theta  }{ dx } =-\frac { 1 }{ \sin { \theta  }  } \\ \frac { d\Theta  }{ d\theta  } =\frac { dP }{ dx } \cdot \frac { dx }{ d\theta  } \quad donde\quad P=P\left( x \right) \\ \frac { d }{ dx } \left( \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \cdot \frac { dP }{ dx }  \right) +l\left( l+1 \right) P-\frac { { m }^{ 2 } }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right)  } P=0 \\ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }P }{ d{ x }^{ 2 } } +-2x\cdot \frac { dP }{ dx } +\left( l\left( l+1 \right) -\frac { { m }^{ 2 } }{ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right)  }  \right) P=0 $$
Esta ultima ecuación se le conoce como ecuación de Legendre y su solución son los polinomios asociados de Legendre, los cuales dependerán de l y m. Están dados por:
$$ { P }_{ l,m }\left( x \right) ={ \left( 1-{ x }^{ 2 } \right)  }^{ \frac { |m| }{ 2 }  }{ \left( \frac { d }{ dx }  \right)  }^{ |m| }{ P }_{ l }\left( x \right) ,\space donde:\\ { P }_{ l }\left( x \right) =\frac { 1 }{ { 2 }^{ l }l! } { \left( \frac { d }{ dx }  \right)  }^{ l }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }^{ l }\space con\space x=\cos { \theta  } $$