Onda de Materia en términos de la acción Clásica

Partícula Libre:

Lagrangiano de la partícula Libre que se desplaza en un intervalo [a,b] :

$$ L\left( x,\dot { x } ,t \right) =\frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x }  }^{ 2 } $$

Condición de Euler - Lagrange:

$$ L\left( x,\dot { x } ,t \right) =\frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x }  }^{ 2 }\\ \frac { \partial L }{ \partial x } -\frac { d }{ dt } \left( \frac { \partial L }{ \partial { \dot { x }  } }  \right) =0\quad \rightarrow \quad \ddot { x } =0\\ \dot { x } =\int { \ddot { x } dt } ={ v }_{ o };\quad x=\int { { v }_{ o }dt } ={ v }_{ o }t+{ x }_{ o }\\ { v }_{ o }=\frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  $$

Calculando la acción clásica a este sistema:

 $$ S\left[ x\left( t \right)  \right] =\int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ L\left( x,\dot { x } ,t \right) dt } \\ S\left[ x\left( t \right)  \right] =\int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ \frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x }  }^{ 2 }dt } =\int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ \frac { 1 }{ 2 } m{ \left( \frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  }^{ 2 }dt } \\ S\left[ x\left( t \right)  \right] =\frac { 1 }{ 2 } m{ \left( \frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  }^{ 2 }\cdot { t }_{ a\rightarrow b }=\frac { 1 }{ 2 } m{ \left( \frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  }^{ 2 }\cdot \left( { t }_{ b }-{ t }_{ a } \right) \\ S\left[ x\left( t \right)  \right] =\frac { 1 }{ 2 } m\cdot \frac { { \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right)  }^{ 2 } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  $$

Onda de Materia:

De los postulados de de Broglie, para la partícula libre tenemos:

$$ P=\frac { h }{ \lambda  } \quad k=\frac { 2\pi  }{ \lambda  } \quad E=\hbar w\\ E=\hbar w=\frac { 1 }{ 2 } m{ v }^{ 2 }=\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \\ \hbar w=\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \quad \rightarrow \quad w=\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m\hbar  } \\ k=\frac { 2\pi  }{ \lambda  } =\frac { 2\pi P }{ h } \quad \rightarrow \quad k=\frac { P }{ \hbar  } $$

La función de onda en su expresión mas general esta dada por:

$$ f\left( x,t \right)=A{ e }^{ i\left( kx-wt \right)  } $$

teniendo en cuenta los postulados de de Broglie podemos reescribir la función de onda como:

$$ f\left( x,t \right) =A{ e }^{ i\left( \frac { P }{ \hbar  } x-\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m\hbar  } t \right)  }\\ f\left( x,t \right) =A{ e }^{ \frac { i }{ \hbar  } \left( Px-\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } t \right)  } $$

Onda de Materia para la Partícula Libre:

Como se propuso inicialmente, la partícula se desplaza en el intervalo [a,b], para esto tenemos que la posición, el tiempo y la función de para la partícula están dados por: 

$$ x={ x }_{ b }-{ x }_{ a },\quad t={ t }_{ b }-{ t }_{ a }\\ f\left( x,t \right) =A{ e }^{ \frac { i }{ \hbar  } \left( P\left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right) -\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \left( { t }_{ b }-{ t }_{ a } \right)  \right)  }=Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar  } \left( P\left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right) -\frac { { P }^{ 2 } }{ 2m } \left( { t }_{ b }-{ t }_{ a } \right)  \right)  \right\} \\ P=mv=m\frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } } \quad \therefore \quad { P }^{ 2 }={ m }^{ 2 }{ \left( \frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  }^{ 2 }\\ f\left( x,t \right) =Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar  } \left( m\frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } } \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right) -\frac { { m }^{ 2 }{ \left( \frac { { x }_{ b }-{ x }_{ a } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  }^{ 2 } }{ 2m } \left( { t }_{ b }-{ t }_{ a } \right)  \right)  \right\} \\ f\left( x,t \right) =Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar  } \left( m\frac { { \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right)  }^{ 2 } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } } -\frac { 1 }{ 2 } m\frac { { \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right)  }^{ 2 } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  \right\} \\ f\left( x,t \right) =Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar  } \left( \frac { 1 }{ 2 } m\frac { { \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right)  }^{ 2 } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } }  \right)  \right\} \\ \frac { 1 }{ 2 } m\frac { { \left( { x }_{ b }-{ x }_{ a } \right)  }^{ 2 } }{ { t }_{ b }-{ t }_{ a } } =S\left[ x\left( t \right)  \right] \\ f\left( x,t \right) =Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar  } S\left[ x\left( t \right)  \right]  \right\} =A{ e }^{ \frac { i }{ \hbar  } S\left[ x\left( t \right)  \right]  } $$