$$ -\frac{{\hbar}^{2}}{2m}\frac{{d}^{2}\psi \left(x\right)}{d{x}^{2}}+V\left(x\right) \psi \left(x\right) =E\psi \left(x\right) $$
La funcion de onda que describe cada uno de los potenciales que se estudiaran a continuacion se obtienen al solucionar la ecuacion diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes anteriormente escrita y la cual se presentaran ecuaciones similares en todos los posos por lo que se dara una solucion general a dicha ecuacion para ciertos casos con el fin de evitar la escritura de la misma, a continuacion resolveremos # casos particulares que se presentaran en las soluciones a los potenciales.
Partícula Libre
La partícula libre no esta sujeta a ningún potencial por lo que la ecuación de Scrödinger queda de la forma:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +0\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Solución:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
Organizando:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +{ k }^{ 2 }\psi \left( x \right) =0 $$
Obtenemos una ecuación diferencial de solución armónica cuya solución puede expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas o como combinación lineal de senos y coseno de la siguiente forma:
$$ \psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }=A\cdot \cos { \left( kx \right) } +B\cdot \sin { \left( kx \right) } \quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
Partícula bajo potencial constante E>V
La ecuación de Schrödinger esta dada por:
$$ \quad -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +{ V }_{ o }\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Solución:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =\left( E-{ V }_{ o } \right) \cdot \psi \left( x \right) $$
Organizando:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right) }{ { \hbar }^{ 2 } } \cdot \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right) }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +{ k }^{ 2 }\cdot \psi \left( x \right) =0 $$
La solución a esta ecuación es igual a la de la partícula libre por lo que solo difieren en el valor de la frecuencia espacia k.
$$ \psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }=A\cdot \cos { \left( kx \right) } +B\cdot \sin { \left( kx \right) } \quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right) }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
Partícula bajo potencial constante E<V
La ecuación de Schrödinger esta dada por:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +{ V }_{ o }\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Solución:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =\left( E-{ V }_{ o } \right) \cdot \psi \left( x \right) $$
Organizando:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right) }{ { \hbar }^{ 2 } } \cdot \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=-\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right) }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
Se debe tomar el signo negativo ya que la frecuencia espacial es un número real positivo.
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } -{ k }^{ 2 }\cdot \psi \left( x \right) =0 $$
Obtenemos una ecuación diferencial cuya solución no es armónica y su solución se expresara como combinación lineal de exponenciales reales de la siguiente forma:
$$ \left( 6 \right) \quad \psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ kx }+B\cdot { e }^{ -kx }\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2m\left( { V }_{ o }-E \right) }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
No hay comentarios:
Publicar un comentario