Series de Fourier

SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER

La serie trigonométrica de Fourier, está definida matemáticamente por:

$$ f\left( t \right) ={ a }_{ o }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { a }_{ n }\cos { \left( n{ \omega  }_{ o }t \right)  }  } +\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { b }_{ n }\sin { \left( n{ \omega  }_{ o }t \right)  }  }  $$

Donde los coeficientes están dados por:

$$ { a }_{ o }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ - T/2  }^{  T/2  }{ f\left( t \right) dt } \quad  { a }_{ n }=\frac { 2 }{ T } \int _{ - T /2   }^{  T/ 2 }{ f\left( t \right) \cos { \left( n{ \omega  }_{ o }t \right)  } dt } \quad{ b }_{ n }=\frac { 2 }{ T } \int _{ -T/ 2  }^{  T/2 }{ f\left( t \right) \sin { \left( n{ \omega  }_{ o }t \right)  } dt } \quad con\quad \omega T=2\pi  $$

$$ { a }_{ n }=0\quad si\quad f\left( t \right) : Impar\quad { b }_{ n }=0\quad si\quad f\left( t \right) : Par $$

Ejemplo S1. Construir la serie de Fourier para la siguiente función periódica:

Solución: Se tiene que es una función par, por tanto los bn = 0 y se deben determinar los demás términos. 

$$ { a }_{ o }=\frac { 1 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { t }^{ 2 }dt } ={ \frac { 1 }{ 2\pi  } \cdot \frac { { t }^{ 3 } }{ 3 }  |}_{ -\pi  }^{ \pi  }=\frac { { \pi  }^{ 2 } }{ 3 }  $$

$$ { a }_{ n }=\frac { 2 }{ 2\pi  } \int _{ -\pi  }^{ \pi  }{ { t }^{ 2 }\cos { \left( nt \right)  } dt }=\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \frac { 2{ t }^{ 2 } }{ \pi  } \cos { \left( nt \right)  } dt }   $$

Ésta integral corresponde a una integral por partes, lo cuál es un proceso simple pero extenso, por tanto se usara la siguiente técnica: 

$$ { a }_{ n }={ \frac { 2{ t }^{ 2 }\sin { \left( nt \right)  }  }{ n\pi  } | }_{ 0 }^{ \pi  }+{ \frac { 4t\cos { \left( nt \right)  }  }{ { n }^{ 2 }\pi  } | }_{ 0 }^{ \pi  }-{ \frac { 4\sin { \left( nt \right)  }  }{ { n }^{ 3 }\pi  } | }_{ 0 }^{ \pi  }=\frac { 4 }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi  \right)  } =\frac { 4 }{ { n }^{ 2 } } { \left( -1 \right)  }^{ n }  $$

Por tanto, la serie de Fourier de la función f(t), es:

$$ f\left( t \right) =\frac { { \pi  }^{ 2 } }{ 3 } +\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 4{ \left( -1 \right)  }^{ n } }{ { n }^{ 2 } } \cdot \cos { \left( nt \right)  }  }  $$

Simulación en MatLab:

Código:

%% Sereie de Fourier para f(t) = t^2 -Pi < t < Pi

% Vector t:

t = -3*pi:0.001:3*pi;

% Iniciamos la serie con el Valor ao:

f = (pi^2)/3;

% Ciclo de construcción de la serie:

for n=1:100

    f = f +  ((4*(-1)^n)/n^2)*cos(n*t);

end

% Grafica de la función reconstruida:

plot(t,f,'--')

title('f(t) = t^2')

xlabel('t')

EN CONSTRUCCIÓN...

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