En esta entrada se presentaran algunas integrales que a simple vista pueden parecer complejas a quien se enfrente a ellas, pero que en síntesis no son más que pasos algebraicos que permitan la resolución de la misma:
Integral Racional con Radical: La integral dada es la siguiente.
$$ \int _{ a }^{ b }{ \frac { \sqrt { \left( x-a \right) \left( b-x \right) } }{ x } dx } $$
El argumento de la raíz, será reescrito mediante la siguiente expresión:
$$ \left( x−a \right) \left( b−x \right) =\frac { 1 }{ 4 } \left\{ { -\left( 2x−b−a \right) }^{ 2 }+{ \left( b−a \right) }^{ 2 } \right\} $$
De esta manera, la integral queda de la forma:
$$ \frac { 1 }{ 2 } \int _{ a }^{ b }{ \frac { \sqrt { -{ \left( 2x-b-a \right) }^{ 2 }+{ \left( b-a \right) }^{ 2 } } }{ x } dx } $$
Planteando una sustitución simple para la variable x, se tiene:
$$ \mu =2x-b-a\quad \rightarrow \quad d\mu =2dx\quad si\quad x=a\quad { \mu }_{ 1 }=a-b\quad si\quad x=b\quad { \mu }_{ 2 }=b-a $$
$$ \frac { 1 }{ 2 } \int _{ { \mu }_{ 1 } }^{ { \mu }_{ 2 } }{ \frac { \sqrt { { \left( b-a \right) }^{ 2 }{ - }{ \mu }^{ 2 } } }{ \mu +b+a } d\mu } $$
El argumento de la raíz puede ser simplificado aún más si se realiza una nueva sustitución, de tal manera que desaparezca la función raíz, esto se logra mediante una sustitución trigonométrica de la siguiente forma:
$$ \mu =\left( b-a \right) \sin { \left( \theta \right) } \rightarrow d\mu =\left( b-a \right) \cos { \left( \theta \right) } d\theta \quad si\quad \mu ={ \mu }_{ 1 }\rightarrow { \theta }_{ 1 }=-\frac { \pi }{ 2 } \quad si\quad \mu ={ \mu }_{ 2 }\rightarrow { \theta }_{ 2 }=\frac { \pi }{ 2 } $$
Por lo que la integral queda:
$$ \frac { 1 }{ 2 } \int _{ { \theta }_{ 1 } }^{ { \theta }_{ 2 } }{ \frac { { \left( b-a \right) }^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ \left( \theta \right) } }{ \left( b-a \right) \sin { \left( \theta \right) } +\left( b+a \right) } d\theta } $$
Realizando un último cambio de variable que permita llevar la integral a una forma de polinomios, se toma la siguiente sustitución:
$$ \omega =\tan { \left( \frac { \theta }{ 2 } \right) } \rightarrow d\omega =\frac { 1 }{ 2 } \left( 1+{ \omega }^{ 2 } \right) d\theta \quad si\quad \theta ={ \theta }_{ 1 }\rightarrow { \omega }_{ 1 }=-1\quad si\quad \theta ={ \theta }_{ 2 }\rightarrow { \omega }_{ 2 }=1 $$
Usando identidades trigonométricas para determinar las expresiones de la integral en función de la nueva variable ω, se tiene que:
$$ { \omega }^{ 2 }=\tan ^{ 2 }{ \left( \frac { \theta }{ 2 } \right) } =\frac { 1-\cos { \left( \theta \right) } }{ 1+\cos { \left( \theta \right) } } \therefore \cos { \left( \theta \right) } =\frac { 1-{ \omega }^{ 2 } }{ 1+{ \omega }^{ 2 } } \quad \omega =\tan { \left( \frac { \theta }{ 2 } \right) } =\frac { \sin { \left( \theta \right) } }{ 1+\cos { \left( \theta \right) } } \therefore \sin { \left( \theta \right) } =\frac { 2\omega }{ 1+{ \omega }^{ 2 } } $$
Por lo que la integral queda de la forma:
$$ \frac { 1 }{ 2 } \int _{ { \omega }_{ 1 } }^{ { \omega }_{ 2 } }{ \frac { { \left( b-a \right) }^{ 2 }{ \left( 1-\omega \right) }^{ 2 }{ \left( 1+\omega \right) }^{ 2 } }{ { \left( 1+{ \omega }^{ 2 } \right) }^{ 2 }\left[ \left( b+a \right) { \omega }^{ 2 }+2\left( b-a \right) \omega +\left( a+b \right) \right] } d\omega } $$
Expresando el argumento en fracciones parciales, queda que es igual a:
$$ -\left( b-a \right) \frac { 2\omega }{ { \left( 1+{ \omega }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } +\frac { b+a }{ 1+{ \omega }^{ 2 } } -\frac { 4ab }{ \left( b+a \right) { \omega }^{ 2 }+2\left( b-a \right) \omega +\left( b+a \right) } $$
Por lo que la integral queda partida en tres integrales directas, que corresponden a:
$$ -\int _{ { \omega }_{ 1 } }^{ { \omega }_{ 2 } }{ \frac { 2\left( b-a \right) \omega }{ { \left( 1+{ \omega }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } d\omega } +\int _{ { \omega }_{ 1 } }^{ { \omega }_{ 2 } }{ \frac { b+a }{ 1+{ \omega }^{ 2 } } d\omega } -\int _{ { \omega }_{ 1 } }^{ { \omega }_{ 2 } }{ \frac { 4ab }{ \left( b+a \right) { \omega }^{ 2 }+2\left( b-a \right) \omega +\left( b+a \right) } d\omega } $$
La primera integral puede resolverse fácilmente, notando que en su numerador se encuentra la
derivada del argumento dentro del paréntesis del denominador, y las otras dos integrales,
corresponden a las primitivas arco tangente, por lo que la integral queda:
$$ \frac { \left( b-a \right) }{ 1+{ \omega }^{ 2 } } +\left( b+a \right) \arctan { \left( \omega \right) } -2\sqrt { ab } \arctan { \left( \frac { a\left( \omega -1 \right) +b\left( \omega +1 \right) }{ 2\sqrt { ab } } \right) } $$
Evaluando la integral se llega al siguiente resultado:
$$ \left( b+a \right) \cdot \frac { \pi }{ 2 } -2\sqrt { ab } \left\{ \arctan { \left( \sqrt { \frac { b }{ a } } \right) } +\arctan { \left( \sqrt { \frac { a }{ b } } \right) } \right\} $$
Recordando la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \arctan { \left( x \right) } +\arctan { \left( \frac { 1 }{ x } \right) } =\frac { \pi }{ 2 } $$
La integral queda de la forma:
$$ \left( b+a \right) \cdot \frac { \pi }{ 2 } -2\sqrt { ab } \cdot \frac { \pi }{ 2 } $$
Organizando la expresión, se llega a que el resultado es:
$$ \int _{ a }^{ b }{ \frac { \sqrt { \left( x-a \right) \left( b-x \right) } }{ x } dx }=\frac { \pi }{ 2 } { \left( \sqrt { b } -\sqrt { a } \right) }^{ 2 } $$
Integral Raíz de Tangente en una variable:
La integral planteada es $$ \int { \sqrt { \tan { \left( x \right) } } dx } $$
EN CONSTRUCCIÓN...
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