BARRERA DE POTENCIAL

Barrera de Potencial (efecto túnel)

Para este ejercicio calcularemos los coeficientes de trasmisión y reflexión de la onda incidente al chocar con la barrera de ancho a. El potencial esta matemáticamente dado por:

$$ V\left( x \right) =\begin{cases} 0\quad \quad x<0 \\ { V }_{ o }\quad 0<x<a \\ 0\quad \quad x>a \end{cases} $$

Gráficamente:

En las regiones I y III la ecuación de Schrödiger  están dadas por:

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +0\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$

Solución:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  $$

Organizando:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +{ k }^{ 2 }\psi \left( x \right) =0 $$

Obtenemos una ecuación diferencial de solución armónica la cual puede expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas o como combinación lineal de seno y coseno de la siguiente forma:

$$ \psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }=A\cdot \cos { \left( kx \right)  } +B\cdot \sin { \left( kx \right)  } \quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } $$

De la cual trabajaremos con la solución en términos de las exponenciales complejas.

Para la región II, la ecuación de Schrödinger esta dada por:

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +{ V }_{ o }\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right)  $$

Solución:

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } =\left( E-{ V }_{ o } \right) \cdot \psi \left( x \right) $$

Organizando:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } \cdot \psi \left( x \right) \quad sea\quad { \beta }^{ 2 }=-\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } $$

Se debe tomar el signo negativo ya que la frecuencia espacial debe ser un número real positivo el cual compensa el signo producido por la diferencia E-V.

$$\frac{ { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } -{ \beta }^{ 2 }\cdot \psi \left( x \right) =0$$

Obtenemos una ecuación diferencial cuya solución no es armónica y su solución se expresara como combinación lineal de exponenciales reales:
$$\psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ \beta x }+B\cdot { e }^{ -\beta x }\quad con\quad { \beta }^{ 2 }=\frac { 2m\left( { V }_{ o }-E \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }$$
A partir de esto tenemos una solución general para el sistema dado por: 

$$ Región\space I :\quad x<0;\quad \space \space { \psi  }_{ I }\left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } \quad \quad  \\ Región\space II \space :\space 0<x<a;\space { \psi  }_{ II }\left( x \right) =C\cdot { e }^{ \beta x }+D\cdot { e }^{ -\beta x }\space con\space { \beta  }^{ 2 }=\frac { 2m\left( { V }_{ o }-E \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } \\ Región\quad III:\quad x>a;\quad { \psi  }_{ III }\left( x \right) =F\cdot { e }^{ ikx }+G\cdot { e }^{ -ikx }\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } \quad $$

A partir de estas soluciones exponenciales se pueden distinguir varias cosas; La exponencial compleja con signo positivo indica una onda que viaja de izquierda a derecha, y la exponencial compleja con signo negativo indica una onda que viaja de derecha a izquierda; en la solución general del sistema podemos encontrar que en cada una de las regiones hay exponenciales de los dos tipos, con lo cual podemos decir que las ondas que viajan de izquierda a derecha me representaran una onda incidente o una onda que se ha trasmitido (ha superado alguna barrera) y la onda que viaja de derecha a izquierda me representara una onda que se ha reflejado (no ha logrado superar alguna barrera de potencial).

En la región I tenemos una onda incidente y una onda reflejada, las cuales se pueden presentar; Para la región II tenemos una descripción no armónica, descrita por funciones exponenciales reales (actuando como corpúsculo) y en la región III tenemos una onda trasmitida y una onda reflejada, donde esta ultima no tiene sentido físico dado a que no hay una segunda barrera que la pueda producir, por tanto G=0.

Gráficamente se tiene algo como:

Aplicamos las condiciones para que la función sea bien comportada:

$$ { \psi  }_{ I }\left( 0 \right) ={ \psi  }_{ II }\left( 0 \right) =A+B=C+D\quad \\ \frac { d{ \psi  }_{ I }\left( 0 \right)  }{ dx } =\frac { d{ \psi  }_{ II }\left( 0 \right)  }{ dx } =ikA-ikB=\beta C-\beta D\\ { \psi  }_{ II }\left( a \right) ={ \psi  }_{ III }\left( a \right) =C\cdot { e }^{ \beta a }+D\cdot { e }^{ -\beta a }=F\cdot { e }^{ ika }\quad \\ \frac { d{ \psi  }_{ II }\left( a \right)  }{ dx } =\frac { d{ \psi  }_{ III }\left( a \right)  }{ dx } =\beta C\cdot { e }^{ \beta a }-\beta D\cdot { e }^{ -\beta a }=ikF\cdot { e }^{ ika }  $$

Obtenemos el siguiente sistema:

$$ *\quad  A+B=C+D\quad \\ **\quad A-B=-i\frac { \beta  }{ k } \left( C-D \right) \\ ***\space \space C\cdot { e }^{ \beta a }+D\cdot { e }^{ -\beta a }=F\cdot { e }^{ ika }\quad \\ ****\quad C\cdot { e }^{ \beta a }-D\cdot { e }^{ -\beta a }=i\frac { k }{ \beta  } F\cdot { e }^{ ika }\quad $$

De este sistema de ecuaciones se buscaran expresiones para A y B en términos de C y D con la suma y resta de las ecuaciones * y **; se buscaran expresiones para C y D en términos de F y G. consientes de que G=0 con la suma y resta de las ecuaciones *** y ****. de esto obtenemos: 

$$ 2A=\left( 1-i\frac { \beta  }{ k }  \right) C+\left( 1+i\frac { \beta  }{ k }  \right) D\\ 2B=\left( 1+i\frac { \beta  }{ k }  \right) C+\left( 1-i\frac { \beta  }{ k }  \right) D\\ 2C=\left( 1+i\frac { k }{ \beta  }  \right) F\cdot { e }^{ ika }\cdot { e }^{ -\beta a }+0G\\ 2D=\left( 1-i\frac { k }{ \beta  }  \right) F\cdot { e }^{ ika }\cdot { e }^{ \beta a }+0G $$ 

Matricialmente podemos expresarlo de la forma:

$$ \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix}  1-i\frac { \beta  }{ k }  &  1+i\frac { \beta  }{ k }  \\ \  1+i\frac { \beta  }{ k }  & 1-i\frac { \beta  }{ k }  \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} C \\ D \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C \\ D \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ 2 } \begin{pmatrix} \left( 1+i\frac { k }{ \beta  } \right)  { e }^{ ika-\beta a } & 0 \\ \left( 1-i\frac { k }{ \beta  }  \right) { e }^{ ika+\beta a } & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} F \\ G \end{matrix} \right)  $$

Los coeficientes de trasmisión y reflexión estarán dados por:

$$ T=\frac { F\cdot F* }{ A\cdot A* } \quad R=\frac { B\cdot B* }{ A\cdot A* } $$

Para el calculo del indice de trasmisión reemplazaremos el vector (C, D) en el vector (A, B), con esto tenemos: 

$$ \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) =\frac { 1 }{ 4 } \begin{pmatrix} 1-i\frac { \beta  }{ k }  & 1+i\frac { \beta  }{ k }  \\ 1+i\frac { \beta  }{ k }  & 1-i\frac { \beta  }{ k }  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \left( 1+i\frac { k }{ \beta  }  \right) { e }^{ ika-\beta a } & 0 \\ \left( 1-i\frac { k }{ \beta  }  \right) { e }^{ ika+\beta a } & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} F \\ G \end{matrix} \right)  $$

Multiplicando ambas matrices y reorganizando términos tenemos:

$$ \left( \begin{matrix} A \\ B \end{matrix} \right) =\frac { { e }^{ ika } }{ 4k\beta  } \begin{pmatrix} \left( k-i\beta  \right) \left( \beta +ik \right) { e }^{ -\beta a }+\left( k+i\beta  \right) \left( \beta -ik \right) { e }^{ \beta a } & 0 \\ { \left( k+i\beta  \right) \left( \beta +ik \right)  }{ e }^{ -\beta a }+{ \left( k-i\beta  \right) \left( \beta -ik \right)  }{ e }^{ \beta a } & 0 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} F \\ G \end{matrix} \right) $$ 

De esta matriz tenemos:

$$ A=\frac { F{ e }^{ ika } }{ 4k\beta  } \left( \left( k-i\beta  \right) \left( \beta +ik \right) { e }^{ -\beta a }+\left( k+i\beta  \right) \left( \beta -ik \right) { e }^{ \beta a } \right) \quad (*)\\ B=\frac { F{ e }^{ ika } }{ 4k\beta  } \left( { \left( k+i\beta  \right) \left( \beta +ik \right)  }{ e }^{ -\beta a }+{ \left( k-i\beta  \right) \left( \beta -ik \right)  }{ e }^{ \beta a } \right) \quad (**) $$

Indice de Trasmisión:

Para este calculo tomamos la ecuación (*) y todo lo que acompaña a F se pasa a dividir al otro lado de la igualdad y A se pasa a dividir al lado derecho de la igualdad, con el fin de obtener una expresión F/A:

$$ \frac { F }{ A } =\frac { 4k\beta \cdot { e }^{ -ika } }{ \left( k-i\beta  \right) \left( \beta +ik \right) { e }^{ -\beta a }+\left( k+i\beta  \right) \left( \beta -ik \right) { e }^{ \beta a } }  $$

Expandiendo el denominador y reagrupando tenemos:

$$ \frac { F }{ A } =\frac { 4k\beta { e }^{ -ika } }{ 2k\beta \left( { e }^{ \beta a }+{ e }^{ -\beta a } \right) +i\left( { \beta  }^{ 2 }-{ k }^{ 2 } \right) \left( { e }^{ \beta a }-{ e }^{ -\beta a } \right)  }  $$

expresando en términos de seno hiperbólico y coseno hiperbólico tenemos:

$$ \frac { F }{ A } =\frac { 2k\beta { e }^{ -ika } }{ 2k\beta \cosh { \left( \beta a \right)  } +i\left( { \beta  }^{ 2 }-{ k }^{ 2 } \right) \sinh { \left( \beta a \right)  }  } $$

Multiplicamos F/A por su complejo conjugado F*/A* para obtener el coeficiente de trasmisión.

$$ \frac { F\cdot F* }{ A\cdot A* } =\frac { \left( 2k\beta { e }^{ -ika } \right) \left( 2k\beta { e }^{ ika } \right)  }{ \left( 2k\beta \cosh { \left( \beta a \right)  } +i\left( { \beta  }^{ 2 }-{ k }^{ 2 } \right) \sinh { \left( \beta a \right)  }  \right) \left( 2k\beta \cosh { \left( \beta a \right)  } -i\left( { \beta  }^{ 2 }-{ k }^{ 2 } \right) \sinh { \left( \beta a \right)  }  \right)  } $$

$$ T=\frac { 4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 } }{ 4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 }\cosh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  } +{ \left( { \beta  }^{ 2 }-{ k }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } $$

Expandiendo el factor que acompaña al seno hiperbólico y aplicando identidad trigonométrica tenemos:

$$ T=\frac { 4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 } }{ 4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 }+{ { \left( { \beta  }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  }  $$

Poniendo en términos de la energía y expresándolo como comúnmente aparece en lo libros tenemos:

$$ T={ \left( 1+\frac { { { { V }_{ o } }^{ 2 } }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  }{ 4E\left( { V }_{ o }-E \right)  }  \right)  }^{ -1 } $$

Indice de Reflexión:

Para este calculo dividimos la ecuación (**) entre la ecuación (*) para obtener la expresión B/A.

$$ \frac { B }{ A } =\frac { { \left( k+i\beta  \right) \left( \beta +ik \right)  }{ e }^{ -\beta a }+{ \left( k-i\beta  \right) \left( \beta -ik \right)  }{ e }^{ \beta a } }{ \left( k-i\beta  \right) \left( \beta +ik \right) { e }^{ -\beta a }+\left( k+i\beta  \right) \left( \beta -ik \right) { e }^{ \beta a } } $$

Expandiendo términos y reagrupando:

$$ \frac { B }{ A } =\frac { { { \left( { k }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\left( { e }^{ \beta a }-{ e }^{ -\beta a } \right)  } }{ { \left( { k }^{ 2 }-{ \beta  }^{ 2 } \right) \left( { e }^{ \beta a }-{ e }^{ -\beta a } \right) +2ik\beta  }\left( { e }^{ \beta a }+{ e }^{ -\beta a } \right)  }  $$

Llevando a términos de seno hiperbólico y coseno hiperbólico:

$$ \frac { B }{ A } =\frac { { { \left( { k }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh { \left( \beta a \right)  }  } }{ { \left( { k }^{ 2 }-{ \beta  }^{ 2 } \right) \sinh { \left( \beta a \right)  } +2ik\beta  }\cosh { \left( \beta a \right)  }  }  $$

Multiplicamos B/A por su complejo conjugado B*/A* para obtener el coeficiente de reflexión.

$$ \frac { B\cdot B* }{ A\cdot A* } =\frac { { { \left( { k }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } }{ { { \left( { k }^{ 2 }-{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  } +4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 }\cosh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } }  $$

Expresando el coseno hiperbólico en términos de seno hiperbólico:

$$ R=\frac { { { \left( { k }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } }{ { 4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 }+\left( { \left( { k }^{ 2 }-{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }+4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 } \right) \sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } } $$

Expandiendo y clausurando términos:

$$ R=\frac { { { \left( { k }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } }{ { 4{ k }^{ 2 }{ \beta  }^{ 2 }+{ \left( { k }^{ 2 }+{ \beta  }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } } $$ 

Expresándolo de la forma como comúnmente aparecen en los libros en términos de la energía tenemos:

$$ R={ \left( 1+\frac { { 4E\left( { V }_{ o }-E \right)  } }{ { { { V }_{ o } }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } }  \right)  }^{ -1 } $$

Recopilación de la función de onda y los coeficientes de trasmisión y reflexión:

$$ \psi \left( x \right) =\begin{cases} A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx };\quad x<0\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \\ C\cdot { e }^{ \beta x }+D\cdot { e }^{ -\beta x };\quad 0<x<a\quad con{ \beta  }^{ 2 }=\frac { 2m\left( { V }_{ o }-E \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \\ F\cdot { e }^{ ikx };\quad x>a\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \end{cases}\\ R={ \left( 1+\frac { { 4E\left( { V }_{ o }-E \right)  } }{ { { { V }_{ o } }^{ 2 }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  } }  \right)  }^{ -1 }\\ T={ \left( 1+\frac { { { { V }_{ o } }^{ 2 } }\sinh ^{ 2 }{ \left( \beta a \right)  }  }{ 4E\left( { V }_{ o }-E \right)  }  \right)  }^{ -1 } $$