ESCALÓN DE POTENCIAL

Escalón de potencial (E>Vo)

Para este ejercicio nos preocuparemos por encontrar los indices de trasmisión y reflexión. El potencial esta matemáticamente dado por:

$$ V\left( x \right) =\begin{cases} { V }_{ o }\quad x>0 \\ 0\quad \quad x<0 \end{cases} $$

Gráficamente:

En la región I la partícula esta sujeta a potencial cero; la ecuación de Schrödinger sera entonces:

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +0\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$

Solución:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  $$

Organizando:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +{ k }^{ 2 }\psi \left( x \right) =0 $$

Obtenemos una ecuación diferencial de solución armónica la cual puede expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas o como combinación lineal de seno y coseno de la siguiente forma:

$$ \psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }=A\cdot \cos { \left( kx \right)  } +B\cdot \sin { \left( kx \right)  } \quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } $$

 En la región II la partícula esta sujeta a un potencial constante, la ecuación de Schrödinger esta dada por:

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +{ V }_{ o }\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right)  $$

Solución:

$$ -\frac { { \hbar  }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } =\left( E-{ V }_{ o } \right) \cdot \psi \left( x \right) $$

Organizando:

$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } \cdot \psi \left( x \right) \quad sea\quad { \beta }^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } $$

$$\frac{ { d }^{ 2 }\psi \left( x \right)  }{ d{ x }^{ 2 } } +{ \beta }^{ 2 }\cdot \psi \left( x \right) =0$$

La solución a esta ecuación es igual a la anterior y solo difieren en el valor de la frecuencia espacia k.

$$\quad \psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ i\beta x }+B\cdot { e }^{ -i\beta x }=A\cdot \cos { \left( \beta x \right)  } +B\cdot \sin { \left( \beta x \right)  } \quad con\quad { \beta  }^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } \quad $$
En ambas regiones se trabajara con la solución en términos de las exponenciales complejas, quedando una solución general al sistema dada por:

$$ \psi \left( x \right) =\begin{cases} { \psi  }_{ I }\left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }\quad x<0\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \\ { \psi  }_{ II }\left( x \right) =A'\cdot { e }^{ i\beta x }+B'\cdot { e }^{ -i\beta x }\quad x>0\quad con\quad \beta ^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \end{cases} $$

A partir de estas soluciones exponenciales se pueden distinguir varias cosas; La exponencial compleja con signo positivo indica una onda que viaja de izquierda a derecha, y la exponencial compleja con signo negativo indica una onda que viaja de derecha a izquierda; en la solución general del sistema podemos encontrar que en cada una de las regiones hay exponenciales de los dos tipos, con lo cual podemos decir que las ondas que viajan de izquierda a derecha me representaran una onda incidente o una onda que se ha trasmitido (ha superado alguna barrera) y la onda que viaja de derecha a izquierda me representara una onda que se ha reflejado (no ha logrado superar alguna barrera de potencial).

Para el ejercicio nos encontramos que en la región I tenemos la onda Incidente y una onda reflejada por la barrera de potencial a la que se enfrenta en x=0, y en la región II tenemos una onda que ha sido trasmitida y otra que es reflejada, esta ultima no tiene sentido físico, ya que una ves trasmitida la onda no hay una segunda barrera que pueda producir una segunda reflexión de onda,  por tanto esta exponencial se omite, por tanto B'=0. Para ver de manera gráfica lo que sucede podemos representarlo de la siguiente forma:  

Los coeficientes que acompañan a las tres ondas características del sistema (Incidente, trasmitida y reflejada)  nos permitirá conocer en que porcentaje la onda incidente se trasmite y en que porcentaje se refleja, donde se cumple que la suma del indice de reflexión y el indice de trasmisión debe ser igual a la unidad (R+T=1), lo cual se vera mas adelante.

La solución general debe ser una función bien comportada, por lo cual aplicaremos las condiciones que esta debe cumplir:

$$ { \psi  }_{ I }\left( 0 \right) ={ \psi  }_{ II }\left( 0 \right) =A\cdot { e }^{ ik0 }+B\cdot { e }^{ -ik0 }=A'\cdot { e }^{ i\beta 0 } $$

$$ \frac { d{ \psi  }_{ I }\left( 0 \right)  }{ dx } =\frac { d{ \psi  }_{ II }\left( 0 \right)  }{ dx } =ikA\cdot { e }^{ ik0 }-ikB\cdot { e }^{ -ik0 }=i\beta A'\cdot { e }^{ i\beta 0 } $$

De estas condiciones obtenemos el siguiente sistema:

$$ \begin{cases} A+B=A' \quad * \\ A-B=\frac { \beta  }{ k } A' \quad ** \end{cases} $$

El indice de Reflexión (consultar Link) estará dado por: 

$$ R=\frac { B\cdot B* }{ A\cdot A* } $$

Podemos observar que depende de la intensidad de la onda reflejada sobre la intensidad de la onda trasmitida; Para el indice de trasmisión, se hace uso de la igualdad R+T=1.

Para calcular el indice de reflexión buscaremos una expresión matemática que me relacione ambas constantes (A & B); para esto reemplazaremos el valor de A' obtenido en la ecuación * y lo sustituiremos en la ecuación **:

$$ A-B=\frac { \beta  }{ k } \left( A+B \right)  $$

Organizaremos la expresión de tal forma que podamos obtener un equivalente para B/A, así:

$$ \left( 1-\frac { \beta  }{ k }  \right) A=\left( 1+\frac { \beta  }{ k }  \right) B $$

$$ \frac { B }{ A } =\frac { 1-\frac { \beta  }{ k }  }{ 1+\frac { \beta  }{ k }  } $$

$$ \frac { B }{ A } =\frac { k-\beta  }{ k+\beta  } $$

A partir de esta ultima expresión podemos obtener el indice de reflexión, multiplicando por el complejo conjugado A*/B*, dado a que k y ß son números reales, tenemos:

$$ \frac { B\cdot B* }{ A\cdot A* } =\frac { k-\beta  }{ k+\beta  } \cdot \frac { k-\beta  }{ k+\beta  } ={ \left( \frac { k-\beta  }{ k+\beta  }  \right)  }^{ 2 } $$

Reemplazando los valores de k y ß: 

$$ R={ \left( \frac { \sqrt { \frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } -\sqrt { \frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }  }  }{ \sqrt { \frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } +\sqrt { \frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } }  }  \right)  }^{ 2 } $$

$$ R={ \left( \frac { \sqrt { \frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } \left( \sqrt { E } -\sqrt { E-{ V }_{ o } }  \right)  }{ \sqrt { \frac { 2m }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } \left( \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  \right)  }  \right)  }^{ 2 } $$

$$ R={ \left( \frac { \sqrt { E } -\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right)  }^{ 2 } $$

Para el indice de trasmisión tenemos que T=1-R:

$$ T=1-{ \left( \frac { \sqrt { E } -\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right)  }^{ 2 } $$

si lo tomamos como una diferencia de cuadrados podemos escribir T como:

$$ T=\left( 1+\frac { \sqrt { E } -\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right) \left( 1-\frac { \sqrt { E } -\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right)   $$

Realizando la suma de fraccionarios y clausurando términos:

$$ T=\left( \frac { 2\sqrt { E }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right) \left( \frac { 2\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right) $$

Realizando el producto y reorganizando:

$$ T=\frac { 4\sqrt { E\left( E-{ V }_{ o } \right)  }  }{ { \left( \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  \right)  }^{ 2 } }  $$

Recopilación de la función de onda y los coeficientes de trasmisión y reflexión:

$$ \psi \left( x \right) =\begin{cases} A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }\quad x<0\quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \\ A'\cdot { e }^{ i\beta x }\quad x>0\quad con\quad \beta ^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }  \end{cases}\\ T=\frac { 4\sqrt { E\left( E-{ V }_{ o } \right)  }  }{ { \left( \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  \right)  }^{ 2 } }\\ R={ \left( \frac { \sqrt { E } -\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }{ \sqrt { E } +\sqrt { E-{ V }_{ o } }  }  \right)  }^{ 2 } $$

Si se desea obtener una función normalizada se puede hacer uso del sistema de ecuaciones encontrado y buscar la equivalencia de todas las constantes en termino de una sola y así poder utilizar la condición de normalización para finalmente hallar una función normalizada. Los cálculos para determinar dicha función son demasiado extensos por lo que no se realizaran.