Si tenemos una partícula que se mueve desplaza de un punto a otro [a→b] podría tener distintas trayectorias por las cuales ir del punto 'a' al punto 'b'; una posible trayectoria vista en un diagrama de posición - tiempo podría verse representado de la siguiente manera:
Donde cada división vista en el eje temporal corresponde a un intervalo ε; resulta evidente que la partícula puede desplazarse de distintas maneras a lo largo del eje x, pero no podrá devolverse en el tiempo; Si el número de divisiones temporales aumenta el intervalo ε se hace mas pequeño, por tanto dichos intervalos están dados por:
$$ \varepsilon =\frac { { t }_{ b }-{ t }_{ a } }{ N } \\ { t }_{ n }={ t }_{ a }+n\varepsilon \\ si \space n=N \space \rightarrow { t }_{ N }={ t }_{ a }+N\varepsilon ={ t }_{ a }+N\frac { { t }_{ b }-{ t }_{ a } }{ N } ={ t }_{ b }\quad $$
Donde N es el número de divisiones. El Lagrangiano que modela el sistema estará dado por:
$$ L\left( x,\dot { x } ,t \right) =\frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x } }^{ 2 }-V\left( x \right) $$
Planteando la acción clásica del sistema tenemos:
$$ S\left[ x\left( t \right) \right] =\int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ L\left( x,\dot { x } ,t \right) dt } \\ S\left[ x\left( t \right) \right] =\int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ \left\{ \frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x } }^{ 2 }-V\left( x \right) \right\} dt } $$
Dado a que el movimiento lo definimos en intervalos, expresamos la acción clásica en forma de serie, usando la forma integral de Riemann; para esto es necesario definir la velocidad y el potencial en cada intervalo:
$$ \int _{ a }^{ b }{ f\left( x \right) dx } =\sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ f\left( { x }_{ n } \right) \cdot \left( { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right) } \\ dt\rightarrow \Delta t={ t }_{ n+1 }-{ t }_{ n }={ t }_{ a }+\left( n+1 \right) \varepsilon -{ t }_{ a }-n\varepsilon =\varepsilon \\ \int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ \left\{ \frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x } }^{ 2 }-V\left( x \right) \right\} dt } =\sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left\{ \frac { 1 }{ 2 } m{ { v }_{ n } }^{ 2 }-V\left( { x }_{ n } \right) \right\} \varepsilon } \\ { v }_{ n }=\frac { { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } }{ { t }_{ n+1 }-{ t }_{ n } } =\frac { { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } }{ \varepsilon } \\ \int _{ { t }_{ a } }^{ { t }_{ b } }{ \left\{ \frac { 1 }{ 2 } m{ \dot { x } }^{ 2 }-V\left( x \right) \right\} dt } =\sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left\{ \frac { 1 }{ 2 } m{ \left( \frac { { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } }{ \varepsilon } \right) }^{ 2 }-V\left( { x }_{ n } \right) \right\} \varepsilon } \\ S\left[ x\left( t \right) \right] =\sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left\{ \frac { m }{ 2\varepsilon } { \left( { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right) }^{ 2 }-\varepsilon V\left( { x }_{ n } \right) \right\} } $$
La amplitud de probabilidad para cada camino dependerá de la función de onda, por tanto, dicha función estará dada por:
$$ \phi \left( x,t \right) =Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar } S\left[ x\left( t \right) \right] \right\} \\ { \phi }_{ i }\left( x,t \right) =Aexp\left\{ \frac { i }{ \hbar } \sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left( \frac { m }{ 2\varepsilon } { \left( { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right) }^{ 2 }-\varepsilon V\left( { x }_{ n } \right) \right) } \right\} $$
El sub-indice que lleva la función de onda representa el camino que hemos escogido para el desplazamiento de la partícula; si se quiere conocer la amplitud de probabilidad se deben tener encenta todos los posibles caminos que pueda tomar la partícula, por tanto es necesario sumar en cada intervalo todos los posibles caminos, para esto se plantea una integral en el intervalo [-∞, ∞], en el cual vamos a presentar un cambio en la nomenclatura, en el que se especifica el cambio de la partícula en el intervalo [a, b]:
$$ \phi \left( x,t \right) =K\left( a,b \right) \\ K\left( a,b \right) =A\int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ 1 } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ 2 } } \cdot \cdot \cdot \int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ N-1 } } exp\left\{ \frac { i }{ \hbar } \sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left( \frac { m }{ 2\varepsilon } { \left( { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right) }^{ 2 }-\varepsilon V\left( { x }_{ n } \right) \right) } \right\} $$
$$ \phi \left( x,t \right) =K\left( a,b \right) \\ K\left( a,b \right) =A\int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ 1 } } \int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ 2 } } \cdot \cdot \cdot \int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ N-1 } } exp\left\{ \frac { i }{ \hbar } \sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left( \frac { m }{ 2\varepsilon } { \left( { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right) }^{ 2 }-\varepsilon V\left( { x }_{ n } \right) \right) } \right\} \\ K\left( a,b \right) =A\prod _{ i=1 }^{ N-1 }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ d{ x }_{ i } } } \cdot exp\left\{ \frac { i }{ \hbar } \sum _{ n=0 }^{ N-1 }{ \left( \frac { m }{ 2\varepsilon } { \left( { x }_{ n+1 }-{ x }_{ n } \right) }^{ 2 }-\varepsilon V\left( { x }_{ n } \right) \right) } \right\} $$
Los puntos en i=0 & i=N no son tenidos en cuenta dado que son puntos fijos.
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