Este es uno de los potenciales mas sencillos de resolver y para este caso hallaremos las funciones propias del sistema y valores propios de la energía. El potencial esta matemáticamente dado por:
$$V\left( x \right) =\begin{cases} 0;\quad 0 <x<a \\ \infty ;\quad C.O.C \end{cases}$$
$$V\left( x \right) =\begin{cases} 0;\quad 0 <x<a \\ \infty ;\quad C.O.C \end{cases}$$
En el plano cartesiano tenemos:
En este pozo se distinguen tres regiones, en donde dos de estas son regiones "prohibidas" para la partícula dado a que no existe probabilidad alguna que se encuentre en dichas regiones. En las regiones I y III (regiones prohibidas) no hay ninguna interacción, por lo cual la función de onda es cero.
La región de interés a estudiar sera entonces la II, dado a que en esta región la partícula se encuentra confinada y para la cual se buscara la función de onda que la describe. En esta región la partícula esta sujeta a potencial cero, lo que nos lleva a pensar en el echo de que la partícula es libre pero confinada (paradójico).
La ecuación de Schrödinger esta dada por:
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +0\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Solución:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
Organizando:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +{ k }^{ 2 }\psi \left( x \right) =0 $$
Obtenemos una ecuación diferencial de solución armónica cuya solución puede expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas o como combinación lineal de seno y coseno de la siguiente forma:
$$\psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }=A\cdot \cos { \left( kx \right) } +B\cdot \sin { \left( kx \right) } \quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
$$ -\frac { { \hbar }^{ 2 } }{ 2m } \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +0\cdot \psi \left( x \right) =E\psi \left( x \right) $$
Solución:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } \psi \left( x \right) \quad sea\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
Organizando:
$$ \frac { { d }^{ 2 }\psi \left( x \right) }{ d{ x }^{ 2 } } +{ k }^{ 2 }\psi \left( x \right) =0 $$
Obtenemos una ecuación diferencial de solución armónica cuya solución puede expresarse como combinación lineal de exponenciales complejas o como combinación lineal de seno y coseno de la siguiente forma:
$$\psi \left( x \right) =A\cdot { e }^{ ikx }+B\cdot { e }^{ -ikx }=A\cdot \cos { \left( kx \right) } +B\cdot \sin { \left( kx \right) } \quad con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } } $$
La solución con la cual se trabajara sera la dada en términos de seno y coseno, por lo que las funciones de onda del sistema serán:
$$ \psi \left( x \right) =\begin{cases} { \psi }_{ I }\left( x \right) =0;\quad x<0 \\ { \psi }_{ II }\left( x \right) =A\cdot \cos { \left( kx \right) } +B\cdot \sin { \left( kx \right) } ;\quad 0<x<a \\ { \psi }_{ III }\left( x \right) =0;\quad x>a \end{cases}\quad $$
La función debe ser bien comportada en todo el espacio, es decir, que en los limites establecidos la función sea continua, al igual que su primera derivada, aplicando esta condición tenemos:
$$ { \psi }_{ I }\left( 0 \right) ={ \psi }_{ II }\left( 0 \right) =A\cdot \cos { \left( 0 \right) } +B\cdot \sin { \left( 0 \right) } =0 $$
De esta expresión tenemos que A=0, la cual se toma en consideración para la siguiente condición:
$$ { \psi }_{ II }\left( a \right) ={ \psi }_{ III }\left( a \right) =0\cdot \cos { \left( ka \right) } +B\cdot \sin { \left( ka \right) } =0 $$
Dado a que en la región II la partícula es libre, su función de onda es distinta de cero, por tanto la constante B debe ser distinta de cero, por lo cual llegamos a la expresión:
$$ \sin { \left( ka \right) } =0 $$
Donde esta condición se cumple para múltiplos enteros de PI, por lo cual tenemos:
$$ ka=n\pi \quad con\quad n=0,\space 1,\space 2,\space ... $$
Esta expresión nos permite obtener los valores propios de la energía la cual dependerá del número cuántico n (energía discreta). Si elevamos la expresión al cuadrado y despejando k, tenemos:
$$ { k }^{ 2 }=\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } { n }^{ 2 } $$
Igualando esta expresión con el valor de k planteado en la ecuación diferencial, tenemos:
$$ { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar }^{ 2 } }=\frac { { \pi }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } { n }^{ 2 } $$
Despejando de aquí la energía tenemos:
$$ { E }_{ n }=\frac { { \pi }^{ 2 }{ \hbar }^{ 2 } }{ 2m{ a }^{ 2 } } { n }^{ 2 } $$
El valor de la constante B se puede determinar usando la condición de normalización
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \psi }^{ * }\left( x \right) \psi \left( x \right) dx=1 } $$
Aplicando dicha condición tenemos:
$$ \int _{ 0 }^{ a }{ { B }^{ 2 }\sin ^{ 2 }{ \left( \frac { n\pi }{ a } x \right) } dx=1 } $$
$$ \frac { { B }^{ 2 } }{ 2 } \int _{ 0 }^{ a }{ \left( 1-\cos { \left( \frac { 2n\pi }{ a } x \right) } \right) dx=1 } $$
$$ { \frac { { B }^{ 2 } }{ 2 } \left( x-\frac { \sin { \left( \frac { 2n\pi }{ a } x \right) } }{ 2k } \right) }_{ 0\rightarrow a }=1 $$
$$ \frac { a { B }^{ 2 } }{ 2 } =1\quad \therefore \quad B=\sqrt { \frac { 2 }{ a } } $$
Recopilación funciones propias y valores propios de la energía:
$$ \psi \left( x \right) =\begin{cases} \sqrt { \frac { 2 }{ a } } \cdot \sin { \left( \frac { n\pi }{ a } x \right) } \quad 0<x<a \\ 0\quad C.O.C \end{cases}\\ { E }_{ n }=\frac { { \pi }^{ 2 }{ \hbar }^{ 2 } }{ 2m{ a }^{ 2 } } { n }^{ 2 } $$
con n=0, 1, 2, ...
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