POZO DOBLE DE POTENCIAL

Pozo Doble de Potencial

Ejercicio tomado del libro "Física Cuántica" de Eisberg & Resnic, capitulo 6, pagina 274 ejercicio 17. El potencial esta matemáticamente dado por:

$$ V\left( x \right) =\begin{cases} \infty \quad \quad x<-\frac { a }{ 2 } \quad \& \quad x>\frac { a }{ 2 }  \\ 0\quad -\frac { a }{ 2 } <x<-\frac { a }{ 4 } \quad \& \quad \frac { a }{ 2 } <x<\frac { a }{ 4 }  \\ { V }_{ o }\quad \quad -\frac { a }{ 4 } <x<\frac { a }{ 4 }  \end{cases}\quad { V }_{ o }=\frac { { \pi  }^{ 2 }{ \hbar  }^{ 2 } }{ 8m{ a }^{ 2 } }  $$

Graficamente:

Sugerencias dadas por el problema:

1- Debido a la simetría de el potencial la primera eigenfunción 𝛙 deberá ser una solución par. Esto significa que no puede haber un término senoidal en la forma supuesta para 𝛙 en la región -a/4<x<a/4 que circunda a x=0.

2- Debido a esta simetría, solamente es necesario acoplar 𝛙 y d𝛙/dx en x=a/4 y hacer 𝛙=0 en x=a/2. 

Las soluciones generales en cada una de las regiones son:

$$ Región\quad 1:\quad { \psi  }_{ I }\left( x \right) =A\sin { \left( kx \right)  } +B\cos { \left( kx \right)  } \space con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } \\ Región\space II:\space { \psi  }_{ II }\left( x \right) =C\sin { \left( \beta x \right)  } +D\cos { \left( \beta x \right)  }\space con\space { \beta  }^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } \\ Región\quad III:\quad { \psi  }_{ III }\left( x \right) =F\sin { \left( kx \right)  } +G\cos { \left( kx \right)  } \space con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } $$

Condiciones de frontera en -a/2 & a/2:

$$ { \psi  }_{ I }\left( -\frac { a }{ 2 }  \right) =A\sin { \left( -\frac { a }{ 2 } k \right)  } +B\cos { \left( -\frac { a }{ 2 } k \right)  } =0\\ { \psi  }_{ III }\left( \frac { a }{ 2 }  \right) =F\sin { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } +G\cos { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =0 $$

A partir de esta condición tenemos:

$$ A\sin { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =B\cos { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } \\ F\sin { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =-G\cos { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } $$

Dividiendo ambas ecuaciones:

$$ \frac { A\sin { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  }  }{ F\sin { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  }  } =-\frac { B\cos { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  }  }{ G\cos { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  }  } $$

$$ \frac { A }{ F } +\frac { B }{ G } =0 $$

Expresión (🔺):

$$AG+BF=0 $$ 

Evaluar las primeras derivadas es irrelevante ya que conllevan a la misma expresión.

Condiciones de frontera en -a/4 & a/4:

$$ { \psi  }_{ I }\left( -\frac { a }{ 4 }  \right) ={ \psi  }_{ II }\left( -\frac { a }{ 4 }  \right) =A\sin { \left( -\frac { a }{ 4 } k \right)  } +B\cos { \left( -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =C\sin { \left( -\frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } +D\cos { \left( -\frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } \\ { \psi  }_{ II }\left( \frac { a }{ 4 }  \right) ={ \psi  }_{ III }\left( \frac { a }{ 4 }  \right) =C\sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } +D\cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } =F\sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } +G\cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } \\ { \psi ' }_{ I }\left( -\frac { a }{ 4 }  \right) ={ \psi ' }_{ II }\left( -\frac { a }{ 4 }  \right) =Ak\cos { \left( -\frac { a }{ 4 } k \right)  } -Bk\sin { \left( -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =C\beta \cos { \left( -\frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } -D\beta \sin { \left( -\frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } \\ { \psi ' }_{ II }\left( \frac { a }{ 4 }  \right) ={ \psi ' }_{ III }\left( \frac { a }{ 4 }  \right) =C\beta \cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } -D\beta \sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } =Fk\cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } -Gk\sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  }  $$

Obtenemos el sistema: 

$$ -A\sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } +B\cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } =-C\sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } +D\cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } \\ F\sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } +G\cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } =C\sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } +D\cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } \\ Ak\cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } +Bk\sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } =C\beta \cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } +D\beta \sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } \\ Fk\cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } -Gk\sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } =C\beta \cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } -D\beta \sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  }  $$

Para simplificar un poco usaremos la siguiente notación:

$$ \sin { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } ={ S }_{ k }\quad \& \quad \cos { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } ={ C }_{ k }\\ \sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } ={ S }_{ \beta  }\quad \& \quad \cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } ={ C }_{ \beta  } $$

De esta manera tenemos:

$$ -A\cdot { S }_{ k }+B\cdot { C }_{ k }=-C\cdot { S }_{ \beta  }+D\cdot { C }_{ \beta  }*\\ F\cdot { S }_{ k }+G\cdot { C }_{ k }=C\cdot { S }_{ \beta  }+D\cdot { C }_{ \beta  }**\\ Ak\cdot { C }_{ k }+Bk\cdot { S }_{ k }=C\beta \cdot { C }_{ \beta  }+D\beta \cdot { S }_{ \beta  }***\\ Fk\cdot { C }_{ k }-Gk\cdot { S }_{ k }=C\beta \cdot { C }_{ \beta  }-D\beta \cdot { S }_{ \beta  }**** $$

sumando - restando * con ** y sumando - restando *** con ****

$$ \left( F-A \right) \cdot { S }_{ k }+\left( G+B \right) \cdot { C }_{ k }=2D\cdot { C }_{ \beta  }\quad \left( 1 \right) \\ \left( F+A \right) \cdot { S }_{ k }+\left( G-B \right) \cdot { C }_{ k }=2C\cdot { S }_{ \beta  }\quad \left( 2 \right) \\ \left( F+A \right) \cdot { C }_{ k }-\left( G-B \right) \cdot { S }_{ k }=2C\frac { \beta  }{ k } \cdot { C }_{ \beta  }\quad \left( 3 \right) \\ \left( F-A \right) \cdot { C }_{ k }-\left( G+B \right) \cdot { S }_{ k }=-2D\frac { \beta  }{ k } \cdot { S }_{ \beta  }\quad \left( 4 \right) $$

Dividiendo (1) entre (4)

$$ \frac { \left( F-A \right) \cdot { S }_{ k }+\left( G+B \right) \cdot { C }_{ k } }{ \left( F-A \right) \cdot { C }_{ k }-\left( G+B \right) \cdot { S }_{ k } } =-\frac { 2D\cdot { C }_{ \beta  } }{ 2D\frac { \beta  }{ k } \cdot { S }_{ \beta  } } $$

$$ \frac { \left( F-A \right) \cdot { S }_{ k }+\left( G+B \right) \cdot { C }_{ k } }{ \left( F-A \right) \cdot { C }_{ k }-\left( G+B \right) \cdot { S }_{ k } } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot \frac { { C }_{ \beta  } }{ { S }_{ \beta  } } \\ \frac { { C }_{ \beta  } }{ { S }_{ \beta  } } =\frac { \cos { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  }  }{ \sin { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  }  } =\cot { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } ={ cot }_{ \beta  } $$

Dividiendo entre (G+B)C_{\beta}

$$ \frac { \frac { F-A }{ G+B } \cdot \frac { { S }_{ k } }{ { C }_{ k } } +1 }{ \frac { F-A }{ G+B } -\frac { { S }_{ k } }{ { C }_{ k } }  } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot { cot }_{ \beta  }\\ \frac { { S }_{ k } }{ { C }_{ k } } ={ tan }_{ k } $$

$$ \frac { 1+\frac { F-A }{ G+B } \cdot { tan }_{ k } }{ \frac { F-A }{ G+B } -{ tan }_{ k } } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot { cot }_{ \beta  } $$

Usando la expresión trigonométrica:

$$ \tan { \left( a\pm b \right)  } =\frac { \tan { \left( a \right)  } \pm \tan { \left( b \right)  }  }{ 1\mp \tan { \left( a \right)  } \tan { \left( b \right)  }  }  $$

suponemos que la expresión (💀):

$$ \frac { F-A }{ G+B } =\tan { \left( \theta  \right)  } \quad suponiendo \space que \quad G+B\neq 0  $$

Reemplazando en la expresión tenemos:

$$ \frac { 1+\tan { \theta  } \cdot { tan }_{ k } }{ \tan { \theta  } -{ tan }_{ k } } =\frac { 1 }{ \tan { \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  }  } =\cot { \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot { cot }_{ \beta  } $$

Dividiendo (2) entre (3)

$$ \frac { \left( F+A \right) \cdot { S }_{ k }+\left( G-B \right) \cdot { C }_{ k } }{ \left( F+A \right) \cdot { C }_{ k }-\left( G-B \right) \cdot { S }_{ k } } =\frac { 2C\cdot { S }_{ \beta  } }{ 2C\frac { \beta  }{ k } \cdot { C }_{ \beta  } } \\ \frac { { S }_{ \beta  } }{ { C }_{ \beta  } } ={ tan }_{ \beta  } $$

$$ \frac { \left( F+A \right) \cdot { S }_{ k }+\left( G-B \right) \cdot { C }_{ k } }{ \left( F+A \right) \cdot { C }_{ k }-\left( G-B \right) \cdot { S }_{ k } } =\frac { k }{ \beta  } { tan }_{ \beta  } $$

Dividiendo entre \left( F+A \right) \cdot { S }_{ k } tenemos:

$$ \frac { 1+\frac { G-B }{ F+A } \frac { { C }_{ k } }{ { S }_{ k } }  }{ \frac { { C }_{ k } }{ { S }_{ k } } -\frac { G-B }{ F+A }  } =\frac { k }{ \beta  } { tan }_{ \beta  } $$

Usando la expresión trigonométrica:

$$ \cot { \left( a\pm b \right)  } =\frac { \cot { \left( a \right)  } \cot { \left( b \right)  } \mp 1 }{ \cot { \left( b \right)  } \pm \cot { \left( a \right)  }  }  $$

suponemos que la expresión:

$$ \frac { G-B }{ F+A } =\cot { \left( \phi  \right)  } \quad con\quad F+A\neq 0 $$

Reemplazando:

$$ \frac { 1+\cot { \left( \phi  \right)  } { cot }_{ k } }{ { cot }_{ k }-\cot { \left( \phi  \right)  }  } =\frac { k }{ \beta  } { tan }_{ \beta  } $$

$$ \frac { 1+\cot { \left( \phi  \right)  } { cot }_{ k } }{ { cot }_{ k }-\cot { \left( \phi  \right)  }  } =\cot { \left( \phi -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =\frac { k }{ \beta  } { tan }_{ \beta  } $$

Tenemos las expresiones: 

$$ \cot { \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot { cot }_{ \beta  }\quad \left( I \right) \\ \cot { \left( \phi -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =\frac { k }{ \beta  } { tan }_{ \beta  }\quad \left( II \right) $$

Si multiplicamos las expresiones (I) & (II) tenemos:

$$ \cot { \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  } \cot { \left( \phi -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-{ \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 }\cdot { cot }_{ \beta  }\cdot { tan }_{ \beta  } $$

$$ \cot { \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  } \cot { \left( \phi -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-{ \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 } $$

Observemos que:

$$ \cot { \left( \theta  \right)  } -\cot { \left( \phi  \right)  } =\frac { G+B }{ F-A } -\frac { G-B }{ F+A } =2\frac { AG+BF }{ { F }^{ 2 }-{ A }^{ 2 } }=0 $$

Recordando la expresión (🔺) la resta es igual a cero, por tanto sus argumentos son iguales:

$$ \theta =\phi \\ \cot ^{ 2 }{ \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-{ \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 } $$

Recopilación de expresiones matemáticas obtenidas:

$$ \frac { F-A }{ G+B } =\tan { \left( \theta  \right)  } \quad si\quad G+B\neq 0\\ \frac { G-B }{ F+A } =\cot { \left( \phi  \right)  } \quad si\quad F+A\neq 0\\ \theta =\phi \\ \cot ^{ 2 }{ \left( \theta -\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-{ \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 } \\  AG+BF=0  $$

De acuerdo con la primer sugerencia del problema tenemos que c=0, ya que esta solución se exige que sea par: 

$$ Región\quad I:\quad { \psi  }_{ I }\left( x \right) =A\sin { \left( kx \right)  } +B\cos { \left( kx \right)  } con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } \\ Región\quad II:\quad { \psi  }_{ II }\left( x \right) =D\cos { \left( \beta x \right)  } con{ \beta  }^{ 2 }=\frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } } \\ Región\quad III:\quad { \psi  }_{ III }\left( x \right) =F\sin { \left( kx \right)  } +G\cos { \left( kx \right)  } con\quad { k }^{ 2 }=\frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } } $$

Aplicando la segunda sugerencia tenemos:

$$ { \psi  }_{ III }\left( \frac { a }{ 2 }  \right) =F\sin { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } +G\cos { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =0 $$

$$ \cot { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =-\frac { F }{ G } $$

Con el fin de buscar una expresión que me relacione F/G hacemos cumplir la condición (🔺):  

$$ AG=-BF\quad \therefore \quad G=B;\quad A=-F $$

Esta expresión garantiza que G+B es diferente de cero, por tanto usamos:  

$$ \tan { \left( \theta  \right)  } =\frac { F-\left( -F \right)  }{ G+G } =\frac { F }{ G } $$

A partir de esto obtenemos la expresión:

$$ \cot { \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =-\frac { F }{ G }=-\tan { \left( \theta  \right)  } $$

si elevamos la expresión al cuadrado tenemos:

$$ \cot ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =\tan ^{ 2 }{ \left( \theta  \right)  } $$

Para que se cumpla la igualdad debe desfasarse el miembro de la derecha PI/2:

$$ \cot ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  } =\frac { \cos ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  }  }{ \sin ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 2 } k \right)  }  } =\frac { \sin ^{ 2 }{ \left( \frac { \pi  }{ 2 } +\frac { a }{ 2 } k \right)  }  }{ \cos ^{ 2 }{ \left( \frac { \pi  }{ 2 } +\frac { a }{ 2 } k \right)  }  } =\tan ^{ 2 }{ \left( \theta  \right)  } $$

De esta expresión tenemos:

$$ \theta =\frac { \pi  }{ 2 } +\frac { a }{ 2 } k $$

Retomando la expresión (1) y reemplazando 𝚹 tenemos:

$$ \cot { \left( \frac { \pi  }{ 2 } +\frac { a }{ 2 } k-\frac { a }{ 4 } k \right)  } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot \cot { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } $$

$$ \tan { \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } =-\frac { k }{ \beta  } \cdot \cot { \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } $$

Elevando al cuadrado:

$$ \tan ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } =\left( \frac { k }{ \beta  }  \right) \cdot \cot ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } $$

$$ \tan ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 4 } k \right)  } \tan ^{ 2 }{ \left( \frac { a }{ 4 } \beta  \right)  } ={ \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 }$$

Para expresar cada argumento en términos de una sola variable, reemplazamos los términos de la energía:

$$ \frac { a }{ 4 } k=\frac { a }{ 4 } \sqrt { \frac { 2mE }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } \\ \frac { a }{ 4 } \beta =\frac { a }{ 4 } \sqrt { \frac { 2m\left( E-{ V }_{ o } \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } \\ { \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { E }{ E-{ V }_{ o } } =\frac { \frac { E }{ { V }_{ o } }  }{ \frac { E }{ { V }_{ o } } -1 }  $$

Expresando todo en términos de E/Vo y reemplazando Vo en los casos necesarios tenemos:

$$ \frac { a }{ 4 } k=\frac { a }{ 4 } \sqrt { \frac { 2m{ V }_{ o } }{ { \hbar  }^{ 2 } } \cdot \frac { E }{ { V }_{ o } }  } =\frac { \pi  }{ 8 } \sqrt { \frac { E }{ { V }_{ o } }  } \\ \frac { a }{ 4 } \beta =\frac { a }{ 4 } \sqrt { \frac { 2m{ V }_{ o }\left( \frac { E }{ { V }_{ o } } -1 \right)  }{ { \hbar  }^{ 2 } }  } =\frac { \pi  }{ 8 } \sqrt { \frac { E }{ { V }_{ o } } -1 } \\ { \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { E }{ E-{ V }_{ o } } =\frac { \frac { E }{ { V }_{ o } }  }{ \frac { E }{ { V }_{ o } } -1 }  $$

$$ sea\quad \alpha =\frac { E }{ { V }_{ o } } \\ \frac { a }{ 4 } k=\frac { \pi  }{ 8 } \sqrt { \alpha  } \\ \frac { a }{ 4 } \beta =\frac { \pi  }{ 8 } \sqrt { \alpha -1 } \\ { \left( \frac { k }{ \beta  }  \right)  }^{ 2 }=\frac { \alpha  }{ \alpha -1 }  $$

reemplazando tenemos:

$$ \tan ^{ 2 }{ \left( \frac { \pi  }{ 8 } \sqrt { \alpha  }  \right)  } \tan ^{ 2 }{ \left( \frac { \pi  }{ 8 } \sqrt { \alpha -1 }  \right)  } =\frac { \alpha  }{ \alpha -1 }  $$

Esta es una ecuación no lineal, cuya solución numérica es:

$$ \alpha \approx 4.8149\quad con\quad \alpha =\frac { E }{ { V }_{ o } } \quad \therefore \quad E\approx 4.8149\cdot { V }_{ o } $$