Parte I:
Se plantea la siguiente integral:
$$ I=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha y^{ 2 } }dy } \\ { I }^{ 2 }=\left( \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } \right) \left( \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha y^{ 2 } }dy } \right) \\ { I }^{ 2 }=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha \left( { x }^{ 2 }+y^{ 2 } \right) }dxdy } } $$
Cambiando a coordenadas polares:
$$ { x }^{ 2 }+y^{ 2 }={ r }^{ 2 };\quad dxdy=rdrd\theta \\ { I }^{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \int _{ 0 }^{ \infty }{ r{ e }^{ -\alpha r^{ 2 } }drd\theta } } \\ u={ r }^{ 2 }\quad du=2rdr\quad \therefore \quad dr=\frac { du }{ 2r } \\ si\quad r\rightarrow 0,\quad u\rightarrow 0\\ si\quad r\rightarrow \infty ,\quad u\rightarrow \infty \\ { I }^{ 2 }=\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ d\theta \int _{ 0 }^{ \infty }{ r{ e }^{ -\alpha u }\frac { du }{ 2r } } } \\ { I }^{ 2 }=2\pi \cdot \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -\alpha u }du } \\ { I }^{ 2 }=-\frac { \pi }{ \alpha } \cdot \left[ { e }^{ -\alpha \infty }-{ e }^{ 0 } \right] \\ { I }^{ 2 }=\frac { \pi }{ \alpha } \quad \therefore \quad I=\sqrt { \frac { \pi }{ \alpha } } \\ I=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \frac { \pi }{ \alpha } } $$
Parte II:
Si consideramos a alpha como una variable y derivamos la integral con respecto a alpha tenemos:
$$ I=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ \frac { dI }{ d\alpha } =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ -{ x }^{ 2 }{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =-\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 3 }{ 2 } }\\ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2 }{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 3 }{ 2 } } $$
Parte III:
Si derivamos n veces (proceso):
$$ I=\sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ { I }^{ \left( 1 \right) }=-\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } -1 }\\ { I }^{ \left( 2 \right) }=-\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } -2 }=\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \left( 3 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 3 }{ 2 } }\\ { I }^{ \left( 3 \right) }=\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } -2 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } -3 }=\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \left( 3 \right) \left( 5 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 7 }{ 2 } }\\ { I }^{ \left( 4 \right) }=\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } -2 \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } -3 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } -4 }=\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \left( 3 \right) \left( 5 \right) \left( 7 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 9 }{ 2 } }\\ { I }^{ \left( 5 \right) }=\frac { 1 }{ 2 } \left( -\frac { 1 }{ 2 } -1 \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } -2 \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } -3 \right) \left( -\frac { 1 }{ 2 } -4 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } -5 }=\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \left( 3 \right) \left( 5 \right) \left( 7 \right) \left( 9 \right) \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 11 }{ 2 } }\\ { I }^{ \left( n \right) }=\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 2n+1 }{ 2 } }\prod _{ i=0 }^{ n }{ |2i-1| } $$
por tanto tenemos:
$$ I=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\\ \frac { { d }^{ n }I }{ d{ \alpha }^{ n } } =\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n }{ x }^{ 2n }{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 2n+1 }{ 2 } }\prod _{ i=0 }^{ n }{ |2i-1| } \\ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { \left( -1 \right) }^{ n }{ x }^{ 2n }{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ { 2 }^{ n } } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 2n+1 }{ 2 } }\prod _{ i=0 }^{ n }{ |2i-1| } \\ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { x }^{ 2n }{ e }^{ -\alpha { x }^{ 2 } }dx } =\frac { 1 }{ { 2 }^{ n } } \sqrt { \pi } { \alpha }^{ -\frac { 2n+1 }{ 2 } }\prod _{ i=0 }^{ n }{ |2i-1| } $$
Parte IV:
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ ...\int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\beta \left( { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdots +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 } \right) }d{ x }_{ 1 }d{ x }_{ 2 }d{ x }_{ 3 }\cdots d{ x }_{ N-1 } } } } } =\sqrt { \frac { { \pi }^{ N-1 } }{ { \beta }^{ N-1 }\cdot { a }_{ 1 }\cdot { a }_{ 2 }\cdot { a }_{ 3 }\cdots { a }_{ N-1 } } } \\ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & { a }_{ 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & { a }_{ N-1 } \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) $$
Note que el producto de los coeficientes corresponde al determinante de la matriz diagonal:
$$ { a }_{ 1 }\cdot { a }_{ 2 }\cdot { a }_{ 3 }\cdot \cdot \cdot { a }_{ N-1 }=Det\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & { a }_{ 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & { a }_{ N-1 } \end{pmatrix} $$
El valor del determinante corresponderá... En comrpobación.
Note que el producto de los coeficientes corresponde al determinante de la matriz diagonal:
$$ { a }_{ 1 }\cdot { a }_{ 2 }\cdot { a }_{ 3 }\cdot \cdot \cdot { a }_{ N-1 }=Det\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & { a }_{ 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & { a }_{ N-1 } \end{pmatrix} $$
El valor del determinante corresponderá... En comrpobación.
La matriz es diagonla, la cual puede verse como:
$$ \begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & { a }_{ 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & { a }_{ N-1 } \end{pmatrix}={ P }^{ -1 }AP $$
Donde P es una matriz compuesta por los vectores propios de la matriz A y su inversa es igual a su transpuesta. La matriz A tiene la propiedad de que su determinante es igual al determinante de la matriz diagonal. Si se plantea un cambio de base, de forma que:
$$ A=P\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & { a }_{ 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & { a }_{ N-1 } \end{pmatrix}{ P }^{ -1 }\\ P=\begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 21 } & \cdots & { p }_{ N-11 } \\ { p }_{ 12 } & { p }_{ 22 } & \cdots & p_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ 1N-1 } & { p }_{ 2N-1 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\quad { P }^{ -1 }={ P }^{ T }=\begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 12 } & \cdots & { p }_{ 1N-1 } \\ { p }_{ 21 } & { p }_{ 22 } & \cdots & { p }_{ 2N-1 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ N-11 } & { p }_{ N-12 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\\ A=\begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 21 } & \cdots & { p }_{ N-11 } \\ { p }_{ 12 } & { p }_{ 22 } & \cdots & p_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ 1N-1 } & { p }_{ 2N-1 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & { a }_{ 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & { a }_{ N-1 } \end{pmatrix}\begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 12 } & \cdots & { p }_{ 1N-1 } \\ { p }_{ 21 } & { p }_{ 22 } & \cdots & { p }_{ 2N-1 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ N-11 } & { p }_{ N-12 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\\ A=\begin{pmatrix} { u }_{ 11 } & { u }_{ 21 } & \cdots & { u }_{ N-11 } \\ { u }_{ 12 } & { u }_{ 22 } & \cdots & u_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { u }_{ 1N-1 } & { u }_{ 2N-1 } & \cdots & { u }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix} $$
Si realizamos el producto del vector fila con la matriz P y el vector columna con la matriz inversa de P, se obtendra el mismo resultado con su caracteristica propia (vector fila o vector columna). Observaremos este comportamiento:
$$ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }AP\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) $$
Cambio de base:
$$ \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 12 } & \cdots & { p }_{ 1N-1 } \\ { p }_{ 21 } & { p }_{ 22 } & \cdots & { p }_{ 2N-1 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ N-11 } & { p }_{ N-12 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\\ \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} \left( { p }_{ 11 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 21 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \right) & \left( { p }_{ 12 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 22 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \right) & \cdots & \left( { p }_{ 1N-1 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 2N-1 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \right) \end{matrix} \right) \\ P\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 21 } & \cdots & { p }_{ N-11 } \\ { p }_{ 12 } & { p }_{ 22 } & \cdots & p_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ 1N-1 } & { p }_{ 2N-1 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \\ P\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { p }_{ 11 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 21 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \\ { { p }_{ 12 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 22 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots } \\ { p }_{ 13 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 23 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \\ \vdots \\ { p }_{ 1N-1 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 2N-1 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \end{matrix} \right) $$
Si definimos lo siguiente:
$$ { p }_{ 11 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 21 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots ={ q }_{ 1 }\\ { { p }_{ 12 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 22 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots }={ q }_{ 2 }\\ { p }_{ 13 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 23 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots ={ q }_{ 3 }\\ { p }_{ 1N-1 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 2N-1 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots ={ q }_{ N-1 }\\ \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } & { { q }_{ 2 } } & { q_{ 3 } } & \cdots & { { q }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \\ P\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } \\ { { { q }_{ 2 } } } \\ { q }_{ 3 } \\ \vdots \\ { q }_{ N-1 } \end{matrix} \right) $$
Generamos un cambio de base:
$$ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }AP\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \\ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } & { { q }_{ 2 } } & { q_{ 3 } } & \cdots & { { q }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) A\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } \\ { { { q }_{ 2 } } } \\ { q }_{ 3 } \\ \vdots \\ { q }_{ N-1 } \end{matrix} \right) \\ A=\begin{pmatrix} { u }_{ 11 } & { u }_{ 21 } & \cdots & { u }_{ N-11 } \\ { u }_{ 12 } & { u }_{ 22 } & \cdots & u_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { u }_{ 1N-1 } & { u }_{ 2N-1 } & \cdots & { u }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix} $$
Esto implica que se obtendrán términos cruzados, es decir, que se verán multiplicaciones de dos términos distintos.
Ejemplo:
N=3.
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\beta \left( 3{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { x }_{ 2 } }^{ 2 } \right) }d{ x }_{ 1 }d{ x }_{ 2 } } } =\sqrt { \frac { { \pi }^{ 3-1 } }{ { \beta }^{ 3-1 }\cdot 3\cdot 1 } } =\frac { \pi }{ \sqrt { 3 } { \beta } } \\ 3{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \end{matrix} \right) \\ Det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=3 $$
Si realizamos el producto del vector fila con la matriz P y el vector columna con la matriz inversa de P, se obtendra el mismo resultado con su caracteristica propia (vector fila o vector columna). Observaremos este comportamiento:
$$ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }AP\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) $$
Cambio de base:
$$ \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 12 } & \cdots & { p }_{ 1N-1 } \\ { p }_{ 21 } & { p }_{ 22 } & \cdots & { p }_{ 2N-1 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ N-11 } & { p }_{ N-12 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\\ \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} \left( { p }_{ 11 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 21 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \right) & \left( { p }_{ 12 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 22 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \right) & \cdots & \left( { p }_{ 1N-1 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 2N-1 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \right) \end{matrix} \right) \\ P\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) =\begin{pmatrix} { p }_{ 11 } & { p }_{ 21 } & \cdots & { p }_{ N-11 } \\ { p }_{ 12 } & { p }_{ 22 } & \cdots & p_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { p }_{ 1N-1 } & { p }_{ 2N-1 } & \cdots & { p }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \\ P\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { p }_{ 11 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 21 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \\ { { p }_{ 12 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 22 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots } \\ { p }_{ 13 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 23 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \\ \vdots \\ { p }_{ 1N-1 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 2N-1 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots \end{matrix} \right) $$
Si definimos lo siguiente:
$$ { p }_{ 11 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 21 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots ={ q }_{ 1 }\\ { { p }_{ 12 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 22 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots }={ q }_{ 2 }\\ { p }_{ 13 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 23 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots ={ q }_{ 3 }\\ { p }_{ 1N-1 }{ x }_{ 1 }+{ p }_{ 2N-1 }{ { x }_{ 2 } }+\cdots ={ q }_{ N-1 }\\ \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }=\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } & { { q }_{ 2 } } & { q_{ 3 } } & \cdots & { { q }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \\ P\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } \\ { { { q }_{ 2 } } } \\ { q }_{ 3 } \\ \vdots \\ { q }_{ N-1 } \end{matrix} \right) $$
Generamos un cambio de base:
$$ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { { x }_{ 2 } } & { { x }_{ 3 } } & \cdots & { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) { P }^{ -1 }AP\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \\ { x }_{ 3 } \\ \vdots \\ { { x }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) \\ { a }_{ 1 }{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ a }_{ 2 }{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }+{ a }_{ 3 }{ { x }_{ 3 } }^{ 2 }+\cdot \cdot \cdot +{ a }_{ N-1 }{ { x }_{ N-1 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } & { { q }_{ 2 } } & { q_{ 3 } } & \cdots & { { q }_{ N-1 } } \end{matrix} \right) A\left( \begin{matrix} { q }_{ 1 } \\ { { { q }_{ 2 } } } \\ { q }_{ 3 } \\ \vdots \\ { q }_{ N-1 } \end{matrix} \right) \\ A=\begin{pmatrix} { u }_{ 11 } & { u }_{ 21 } & \cdots & { u }_{ N-11 } \\ { u }_{ 12 } & { u }_{ 22 } & \cdots & u_{ N-12 } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ { u }_{ 1N-1 } & { u }_{ 2N-1 } & \cdots & { u }_{ N-1N-1 } \end{pmatrix} $$
Esto implica que se obtendrán términos cruzados, es decir, que se verán multiplicaciones de dos términos distintos.
Ejemplo:
N=3.
$$ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ \int _{ -\infty }^{ \infty }{ { e }^{ -\beta \left( 3{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { x }_{ 2 } }^{ 2 } \right) }d{ x }_{ 1 }d{ x }_{ 2 } } } =\sqrt { \frac { { \pi }^{ 3-1 } }{ { \beta }^{ 3-1 }\cdot 3\cdot 1 } } =\frac { \pi }{ \sqrt { 3 } { \beta } } \\ 3{ { x }_{ 1 } }^{ 2 }+{ { x }_{ 2 } }^{ 2 }=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } \end{matrix} \right) \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 } } \end{matrix} \right) \\ Det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=3 $$
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