Delta de Chronecker:
Levi - Civita:
$$ { \epsilon }_{ ijk }=\begin{cases} 1\quad Permutación\quad de\quad Indices\quad Par. \\ -1\quad Permutación\quad de\quad Indices\quad Impar. \\ 0\quad Indices\quad Repetidos. \end{cases} $$
Contracción de Levi - Civita
$$ { \epsilon }_{ ijk }{ \epsilon }_{ ilm }={ \delta }_{ jl }{ \delta }_{ km }-{ \delta }_{ jm }{ \delta }_{ kl } $$
A continuación se presentaran 2 tablas en las cuales se encontraran 3 notaciones diferentes (notación con indices, notación de suma y convención de Einstein). La primera tabla corresponde a la representación algebraica de algunos casos y la segunda tabla contendrá operadores diferenciales comúnmente usados:
Ejemplo de Uso de la Notación
Componentes de un producto cruz:
Primera componente:
$$ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 1 }={ \epsilon }_{ 1jk }{ a }_{ j }{ b }_{ k }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 1 }={ \epsilon }_{ 111 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 112 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 113 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+{ \epsilon }_{ 121 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 122 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 123 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }+{ \epsilon }_{ 131 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 132 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 133 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 1 }=\underbrace { { \epsilon }_{ 111 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 112 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 113 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 121 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 122 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 123 } }_{ =1 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 131 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 132 } }_{ =-1 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 133 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 1 }={ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }-{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 } $$
Segunda componente:
$$ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 2 }={ \epsilon }_{ 2jk }{ a }_{ j }{ b }_{ k }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 2 }={ \epsilon }_{ 211 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 212 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 213 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+{ \epsilon }_{ 221 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 222 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 223 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }+{ \epsilon }_{ 231 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 232 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 233 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 2 }=\underbrace { { \epsilon }_{ 211 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 212 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 213 } }_{ =-1 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 221 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 222 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 223 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 231 } }_{ =1 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 232 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 233 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 2 }=-{ a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+{ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }={ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }-{ a }_{ 1 }{ b }_{ 3 } $$
Tercera componente:
$$ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 3 }={ \epsilon }_{ 3jk }{ a }_{ j }{ b }_{ k }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 3 }={ \epsilon }_{ 311 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 312 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 313 }{ a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+{ \epsilon }_{ 321 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 322 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 323 }{ a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }+{ \epsilon }_{ 331 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }+{ \epsilon }_{ 332 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }+{ \epsilon }_{ 333 }{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 3 }=\underbrace { { \epsilon }_{ 311 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 312 } }_{ =1 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 313 } }_{ =0 } { a }_{ 1 }{ b }_{ 3 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 321 } }_{ =-1 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 322 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 323 } }_{ =0 } { a }_{ 2 }{ b }_{ 3 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 331 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 1 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 332 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 2 }+\underbrace { { \epsilon }_{ 333 } }_{ =0 } { a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }\\ { \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ 3 }={ a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 } $$
Demostración de Identidades Vectoriales
Demostrar:
$$ { \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) =\vec { C } \bullet \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) =\vec { B } \bullet \left( \vec { C } \times \vec { A } \right) } $$
Desarrollo: Se procede a expresar los productos vectoriales en términos de sus n-enésimas componentes, durante el procedimiento se deben tener en cuenta las permutaciones de indices que se realizan.
$$ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ a }_{ n }{ \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) }_{ n }={ a }_{ n }{ { \epsilon }_{ nlm }{ b }_{ l }{ c }_{ m } }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ \epsilon }_{ nlm }{ a }_{ n }{ { b }_{ l }{ c }_{ m } }={ \epsilon }_{ mnl }{ c }_{ m }{ a }_{ n }{ { b }_{ l } }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ c }_{ m }{ \epsilon }_{ mln }{ a }_{ n }{ { b }_{ l } }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ c }_{ m }{ \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) }_{ m }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) =\vec { C } \bullet \left( \vec { A } \times \vec { B } \right) \blacksquare $$
Procediendo de la misma forma para la otra expresión:
$$ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ a }_{ n }{ \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) }_{ n }={ a }_{ n }{ { \epsilon }_{ nlm }{ b }_{ l }{ c }_{ m } }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ \epsilon }_{ nlm }{ a }_{ n }{ { b }_{ l }{ c }_{ m } }={ \epsilon }_{ lmn }{ { b }_{ l } }{ c }_{ m }{ a }_{ n }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ { b }_{ l } }{ \epsilon }_{ lmn }{ { c }_{ m } }{ a }_{ n }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ b }_{ l }{ \left( \vec { C } \times \vec { A } \right) }_{ l }\\ \vec { A } \bullet \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) =\vec { B } \bullet \left( \vec { C } \times \vec { A } \right) \blacksquare $$
Demostrar la Identidad BAC - CAB:
$$ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) ={ \vec { B } \left( \vec { A } \bullet \vec { C } \right) -\vec { C } \left( \vec { A } \bullet \vec { B } \right) } $$
Desarrollo:
$$ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }={ \epsilon }_{ klm }{ a }_{ l }{ \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) }_{ m }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }={ \epsilon }_{ klm }{ a }_{ l }{ \epsilon }_{ mnp }{ b }_{ n }{ c }_{ p }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }={ \epsilon }_{ klm }{ \epsilon }_{ mnp }{ a }_{ l }{ b }_{ n }{ c }_{ p }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }=\underbrace { { \epsilon }_{ mkl }{ \epsilon }_{ mnp } }_{ { \delta }_{ kn }{ \delta }_{ lp }-{ \delta }_{ kp }{ \delta }_{ ln } } { a }_{ l }{ b }_{ n }{ c }_{ p }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }=\left( { \delta }_{ kn }{ \delta }_{ lp }-{ \delta }_{ kp }{ \delta }_{ ln } \right) { a }_{ l }{ b }_{ n }{ c }_{ p }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }={ \delta }_{ kn }{ \delta }_{ lp }{ a }_{ l }{ b }_{ n }{ c }_{ p }-{ \delta }_{ kp }{ \delta }_{ ln }{ a }_{ l }{ b }_{ n }{ c }_{ p }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }={ \delta }_{ kn }{ a }_{ l }{ b }_{ n }{ c }_{ l }-{ \delta }_{ kp }{ a }_{ l }{ b }_{ l }{ c }_{ p }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }={ b }_{ k }{ a }_{ l }{ c }_{ l }-{ c }_{ k }{ a }_{ l }{ b }_{ l }\\ { \left[ \vec { A } \times \left( \vec { B } \times \vec { C } \right) \right] }_{ k }=\vec { B } \left( \vec { A } \bullet \vec { C } \right) -\vec { C } \left( \vec { A } \bullet \vec { B } \right) \blacksquare $$
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